Номер 976, страница 274 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

976. Период полураспада радия $_{88}^{226}\text{Ra}$ равен $T_{1/2} = 1600$ лет.Сколько ядер радия останется не распавшимися за время $t = 2T_{1/2}$, если начальное количество вещества радия $\nu_0 = 5,0$ моль?

Дано:

Изотоп: $_{88}^{226}\text{Ra}$

Период полураспада, $T_{1/2} = 1600$ лет

Время, $t = 2T_{1/2}$

Начальное количество вещества, $\nu_0 = 5,0$ моль

Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$

Найти:

$N$ — количество нераспавшихся ядер.

Решение:

Закон радиоактивного распада определяет число нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ через начальное число ядер $N_0$ и период полураспада $T_{1/2}$:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Сначала найдем начальное число ядер $N_0$, зная начальное количество вещества $\nu_0$ и постоянную Авогадро $N_A$:

$N_0 = \nu_0 \cdot N_A$

Подставим числовые значения:

$N_0 = 5,0 \text{ моль} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 3,01 \cdot 10^{24}$

Теперь воспользуемся законом радиоактивного распада. По условию, прошедшее время $t$ равно двум периодам полураспада, то есть $t = 2T_{1/2}$.

Подставим это соотношение в формулу:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{2T_{1/2}}{T_{1/2}}} = N_0 \cdot 2^{-2} = \frac{N_0}{4}$

Это означает, что через два периода полураспада останется четверть от начального числа ядер.

Вычислим оставшееся количество ядер:

$N = \frac{3,01 \cdot 10^{24}}{4} = 0,7525 \cdot 10^{24} = 7,525 \cdot 10^{23}$

Так как начальное количество вещества дано с двумя значащими цифрами (5,0), округлим полученный результат до двух значащих цифр.

$N \approx 7,5 \cdot 10^{23}$

Ответ: Через время $t = 2T_{1/2}$ останется нераспавшимися примерно $7,5 \cdot 10^{23}$ ядер радия.