Номер 972, страница 273 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

972. Радионуклид X в результате $\beta^{-}$-распада превращается в стабильный нуклид Y. Укажите, какой цифрой обозначен график зависимости числа ядер $N_Y$ нуклида Y от времени $t$ (рис. 226). Обоснуйте свой ответ.

Рис. 226

Решение

Закон радиоактивного распада для исходного радионуклида X гласит, что число нераспавшихся ядер $N_X$ в момент времени $t$ равно:

$N_X(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

где $N_0$ — начальное число ядер X (в момент $t=0$), а $\lambda$ — постоянная распада.

В результате $β^−$-распада каждое ядро радионуклида X превращается в одно ядро стабильного нуклида Y. Так как нуклид Y стабилен, образовавшиеся ядра Y не распадаются. Следовательно, общее число ядер (исходных и дочерних) остается постоянным и равным начальному числу ядер $N_0$:

$N_X(t) + N_Y(t) = N_0$

Отсюда можно выразить число ядер нуклида Y, образовавшихся к моменту времени $t$:

$N_Y(t) = N_0 - N_X(t)$

Подставив выражение для $N_X(t)$, получим зависимость числа ядер Y от времени:

$N_Y(t) = N_0 - N_0 e^{-\lambda t} = N_0 (1 - e^{-\lambda t})$

Проанализируем эту функцию и соответствующий ей график:

1. В начальный момент времени $t=0$, число ядер Y равно:

$N_Y(0) = N_0 (1 - e^0) = N_0 (1 - 1) = 0$.

Это означает, что график должен выходить из начала координат. Этому условию соответствуют графики 2, 3, 4, 6.

2. По прошествии очень большого промежутка времени ($t \to \infty$), экспоненциальный член $e^{-\lambda t}$ стремится к нулю. Тогда число ядер Y асимптотически приближается к $N_0$:

$N_Y(t \to \infty) \to N_0 (1 - 0) = N_0$.

Это означает, что со временем все ядра X распадутся, и их место займут ядра Y. График должен асимптотически приближаться к некоторому максимальному значению. Этому условию удовлетворяет только график 2.

3. Скорость образования ядер Y (наклон графика) равна скорости распада ядер X. Найдем производную функции $N_Y(t)$ по времени:

$\frac{dN_Y}{dt} = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$

В начальный момент времени ($t=0$) скорость образования ядер Y максимальна, так как велико число распадающихся ядер X. С течением времени, по мере уменьшения числа ядер X, скорость их распада (и, соответственно, скорость образования ядер Y) уменьшается по экспоненциальному закону. Это означает, что наклон графика должен быть наибольшим в начале и постепенно уменьшаться, стремясь к нулю. Такое поведение (выпуклость вверх) характерно именно для графика 2.

Таким образом, зависимость числа ядер $N_Y$ от времени $t$ правильно описывает график под номером 2.

Ответ: 2.