Номер 965, страница 272 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

965. После нескольких $\alpha$- и $\beta^{-}$-распадов ядро некоторого радионуклида превратилось в стабильное ядро, у которого число нейтронов на 19 меньше, чем у первоначального ядра. Определите число всех распадов, если суммарный заряд испущенных частиц $q = 9e$, где $e$ — элементарный заряд.

Дано:

Изменение числа нейтронов: $ \Delta N = N_{нач} - N_{кон} = 19 $

Суммарный заряд испущенных частиц: $ q = 9e $, где $ e $ - элементарный заряд.

Происходят $\alpha$- и $\beta^-$-распады.

Найти:

Общее число распадов.

Решение:

Обозначим число $\alpha$-распадов как $x$, а число $\beta^-$-распадов как $y$.

При одном $\alpha$-распаде ядро испускает альфа-частицу ($ _2^4\text{He} $). Массовое число $A$ уменьшается на 4, а зарядовое число $Z$ уменьшается на 2. Следовательно, число нейтронов $N=A-Z$ уменьшается на $4-2=2$. Заряд испущенной альфа-частицы равен $+2e$.

При одном $\beta^-$-распаде из ядра испускается электрон ($_{-1}^0\text{e}$). Массовое число $A$ не меняется, а зарядовое число $Z$ увеличивается на 1 (один нейтрон превращается в протон). Следовательно, число нейтронов $N=A-Z$ уменьшается на 1. Заряд испущенной бета-частицы (электрона) равен $-e$.

Основываясь на условиях задачи, составим систему уравнений.

1. Изменение числа нейтронов.

Каждый из $x$ $\alpha$-распадов уменьшает число нейтронов на 2, а каждый из $y$ $\beta^-$-распадов уменьшает число нейтронов на 1. Общее уменьшение числа нейтронов по условию равно 19:

$ \Delta N = 2x + y = 19 $

2. Суммарный заряд испущенных частиц.

Каждый из $x$ $\alpha$-распадов вносит вклад в заряд $+2e$. Каждый из $y$ $\beta^-$-распадов вносит вклад в заряд $-e$. Суммарный заряд всех испущенных частиц по условию равен $9e$:

$ q = x \cdot (2e) + y \cdot (-e) = 9e $

Разделим обе части этого уравнения на элементарный заряд $e$:

$ 2x - y = 9 $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} 2x + y = 19 \\ 2x - y = 9 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения, чтобы найти $x$:

$ (2x + y) + (2x - y) = 19 + 9 $

$ 4x = 28 $

$ x = \frac{28}{4} = 7 $

Таким образом, произошло 7 $\alpha$-распадов.

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$ 2(7) + y = 19 $

$ 14 + y = 19 $

$ y = 19 - 14 = 5 $

Таким образом, произошло 5 $\beta^-$-распадов.

Общее число всех распадов равно сумме числа $\alpha$- и $\beta^-$-распадов:

$ N_{распадов} = x + y = 7 + 5 = 12 $

Ответ: 12.