Номер 964, страница 272 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

964. В цепочке радиоактивных превращений после нескольких $\alpha$- и $\beta^{-}$-распадов ядро радионуклида превращается в стабильное ядро, у которого число нейтронов на 15 меньше, чем у первоначального ядра. Известно, что число $\alpha$-распадов равно числу $\beta^{-}$-распадов. Определите число всех распадов.

Дано:

В цепочке радиоактивных превращений ядро претерпевает несколько $\alpha$- и $\beta^-$-распадов.

Изменение числа нейтронов: $\Delta N = N_{кон} - N_{нач} = -15$.

Число $\alpha$-распадов равно числу $\beta^-$-распадов: $n_\alpha = n_\beta$.

Найти:

Общее число распадов: $n_{общ}$.

Решение:

Обозначим исходное ядро как $^A_Z X$, где $A$ – массовое число (сумма протонов и нейтронов), $Z$ – зарядовое число (число протонов). Число нейтронов в ядре $N = A - Z$.

Рассмотрим, как изменяется число нейтронов в ядре при каждом типе распада.

1. При $\alpha$-распаде ядро испускает альфа-частицу ($^4_2 \text{He}$). Массовое число $A$ уменьшается на 4, а зарядовое число $Z$ уменьшается на 2. $^A_Z X \rightarrow ^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2 \text{He}$

Изменение числа нейтронов при одном $\alpha$-распаде:

$\Delta N_\alpha = (A-4 - (Z-2)) - (A-Z) = A - 4 - Z + 2 - A + Z = -2$.

Таким образом, каждый $\alpha$-распад уменьшает число нейтронов на 2.

2. При $\beta^-$-распаде один из нейтронов в ядре превращается в протон, при этом испускается электрон ($^0_{-1} e$) и антинейтрино. Массовое число $A$ не изменяется, а зарядовое число $Z$ увеличивается на 1. $^A_Z X \rightarrow ^A_{Z+1} Y + ^0_{-1} e + \tilde{\nu}_e$

Изменение числа нейтронов при одном $\beta^-$-распаде:

$\Delta N_\beta = (A - (Z+1)) - (A-Z) = A - Z - 1 - A + Z = -1$.

Таким образом, каждый $\beta^-$-распад уменьшает число нейтронов на 1.

Пусть произошло $n$ $\alpha$-распадов и $n$ $\beta^-$-распадов (по условию $n_\alpha = n_\beta = n$).

Общее изменение числа нейтронов $\Delta N$ равно сумме изменений от всех распадов:

$\Delta N = n \cdot \Delta N_\alpha + n \cdot \Delta N_\beta$

Подставим известные значения:

$-15 = n \cdot (-2) + n \cdot (-1)$

$-15 = -2n - n$

$-15 = -3n$

$n = \frac{-15}{-3} = 5$

Следовательно, произошло 5 $\alpha$-распадов и 5 $\beta^-$-распадов.

Общее число распадов равно сумме числа $\alpha$- и $\beta^-$-распадов:

$n_{общ} = n_\alpha + n_\beta = 5 + 5 = 10$

Ответ: общее число распадов равно 10.