Номер 270, страница 83 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

270. Наземная передающая станция отправила данные через спутник, находящийся на геостационарной орбите. Радиус этой орбиты $R = 4,22 \cdot 10^4$ км, радиус Земли $R_3 = 6,4 \cdot 10^3$ км. Определите минимальное время, через которое наземная приемная станция может начать получать данные.

Дано:

Радиус геостационарной орбиты $R = 4,22 \cdot 10^4 \text{ км}$

Радиус Земли $R_З = 6,4 \cdot 10^3 \text{ км}$

Скорость света $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

$R = 4,22 \cdot 10^4 \text{ км} = 4,22 \cdot 10^4 \cdot 10^3 \text{ м} = 4,22 \cdot 10^7 \text{ м}$

$R_З = 6,4 \cdot 10^3 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^3 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$t_{min}$ — минимальное время получения данных.

Решение:

Данные передаются в виде электромагнитного сигнала, который распространяется со скоростью света $c$. Время прохождения сигнала $t$ определяется отношением пройденного пути $S$ к скорости света:

$t = \frac{S}{c}$

Чтобы найти минимальное время $t_{min}$, необходимо определить минимально возможный путь $S_{min}$ для сигнала.

Сигнал проходит два участка: от передающей станции на Земле до спутника ($S_1$) и от спутника до приемной станции на Земле ($S_2$). Общий путь $S = S_1 + S_2$.

Радиус орбиты спутника $R$ и радиус Земли $R_З$ отсчитываются от центра Земли. Минимальное расстояние от станции на поверхности Земли до спутника будет в том случае, если станция находится прямо под спутником (в подспутниковой точке). Это расстояние равно высоте спутника над поверхностью Земли:

$h = R - R_З$

Минимальный путь сигнала $S_{min}$ будет достигнут, когда и передающая, и приемная станции находятся в подспутниковой точке (на практике — максимально близко к ней). В этом случае сигнал проходит путь $h$ до спутника и такой же путь $h$ обратно к Земле.

Таким образом, минимальный общий путь сигнала равен:

$S_{min} = h + h = 2h = 2(R - R_З)$

Формула для минимального времени примет вид:

$t_{min} = \frac{S_{min}}{c} = \frac{2(R - R_З)}{c}$

Выполним вычисления, подставив значения в системе СИ:

$R = 4,22 \cdot 10^7 \text{ м}$

$R_З = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} = 0,64 \cdot 10^7 \text{ м}$

$t_{min} = \frac{2 \cdot (4,22 \cdot 10^7 \text{ м} - 0,64 \cdot 10^7 \text{ м})}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{2 \cdot (3,58 \cdot 10^7 \text{ м})}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}$

$t_{min} = \frac{7,16 \cdot 10^7 \text{ м}}{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{7,16}{3} \cdot 10^{-1} \text{ с} \approx 0,2387 \text{ с}$

Округлим результат до трех значащих цифр:

$t_{min} \approx 0,239 \text{ с}$

Ответ: минимальное время, через которое наземная приемная станция может начать получать данные, составляет примерно 0,239 с.