Номер 264, страница 82 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

264. *Требуется передать мощность $P = 2,5$ кВт на расстояние $l = 2,0$ км по двухпроводной ЛЭП, причем потери на нагревание проводов не должны превышать $\alpha = 3,0$ % передаваемой энергии. Какова масса проводов, если действующее значение напряжения на клеммах генератора переменного тока $U_{\text{д}} = 2,0$ кВ, плотность материала проводов $\rho=2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$, их удельное сопротивление $\rho_0 = 2,8 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м?

Дано:
Передаваемая мощность $P = 2,5 \text{ кВт}$
Расстояние (длина линии) $l = 2,0 \text{ км}$
Допустимые потери мощности $\alpha = 3,0 \% $
Действующее напряжение $U_д = 2,0 \text{ кВ}$
Плотность материала проводов $\rho = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$
Удельное сопротивление $\rho_0 = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Переведем все величины в систему СИ:
$P = 2,5 \cdot 10^3 \text{ Вт}$
$l = 2,0 \cdot 10^3 \text{ м}$
$\alpha = 3,0 \% = 0,03$
$U_д = 2,0 \cdot 10^3 \text{ В}$
$\rho = 2,7 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 2,7 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho_0 = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Найти:
Массу проводов $m$.

Решение:

1. Мощность, передаваемая по линии электропередачи (ЛЭП), связана с действующим значением напряжения $U_д$ и действующим значением силы тока $I$ соотношением $P = U_д I$. Отсюда можем выразить силу тока в проводах:
$I = \frac{P}{U_д}$

2. Потери мощности на нагревание проводов $P_{потерь}$ не должны превышать $\alpha$ от передаваемой мощности $P$:
$P_{потерь} \le \alpha P$
Для нахождения минимальной массы проводов будем считать потери равными максимально допустимому значению: $P_{потерь} = \alpha P$

3. Мощность потерь определяется по закону Джоуля-Ленца: $P_{потерь} = I^2 R$, где $R$ — общее сопротивление проводов ЛЭП. Приравняем два выражения для $P_{потерь}$ и подставим выражение для тока $I$:
$\alpha P = (\frac{P}{U_д})^2 R$
Отсюда выразим сопротивление проводов $R$:
$R = \frac{\alpha P U_д^2}{P^2} = \frac{\alpha U_д^2}{P}$

4. Сопротивление проводника связано с его геометрическими размерами и удельным сопротивлением материала формулой $R = \rho_0 \frac{L}{S}$, где $L$ - общая длина провода, а $S$ - площадь его поперечного сечения. Так как линия двухпроводная, общая длина проводов вдвое больше длины линии: $L = 2l$.
$R = \rho_0 \frac{2l}{S}$

5. Приравняв два выражения для сопротивления $R$, найдем площадь поперечного сечения провода $S$:
$\frac{\alpha U_д^2}{P} = \rho_0 \frac{2l}{S}$
$S = \frac{2 l \rho_0 P}{\alpha U_д^2}$

6. Масса проводов $m$ определяется через плотность материала $\rho$ и их общий объем $V$: $m = \rho V$. Объем, в свою очередь, равен произведению общей длины $L$ на площадь поперечного сечения $S$: $V=L \cdot S = 2l \cdot S$.
$m = \rho \cdot 2l \cdot S = \rho \cdot 2l \cdot \frac{2 l \rho_0 P}{\alpha U_д^2} = \frac{4 \rho \rho_0 l^2 P}{\alpha U_д^2}$

7. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$m = \frac{4 \cdot (2,7 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}) \cdot (2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (2,0 \cdot 10^3 \text{ м})^2 \cdot (2,5 \cdot 10^3 \text{ Вт})}{0,03 \cdot (2,0 \cdot 10^3 \text{ В})^2}$
Заметим, что множитель $(2,0 \cdot 10^3)^2$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается:
$m = \frac{4 \cdot 2,7 \cdot 10^3 \cdot 2,8 \cdot 10^{-8} \cdot 2,5 \cdot 10^3}{0,03} = \frac{(4 \cdot 2,5) \cdot 2,7 \cdot 2,8 \cdot 10^{3-8+3}}{0,03}$
$m = \frac{10 \cdot 2,7 \cdot 2,8 \cdot 10^{-2}}{0,03} = \frac{75,6 \cdot 10^{-2}}{0,03} = \frac{0,756}{0,03} = 25,2 \text{ кг}$

Ответ: $25,2 \text{ кг}$.