Номер 262, страница 81 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

262. *От генератора электростанции мощностью $P = 5,0 \text{ МВт}$ по линии электропередачи сопротивлением $R = 36 \text{ Ом}$ было передано потребителю $\eta = 95 \text{ \%}$ энергии. Определите действующее значение напряжения на клеммах генератора.

Дано:

$P = 5,0 \text{ МВт} = 5,0 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

$R = 36 \text{ Ом}$

$\eta = 95 \% = 0,95$

Найти:

$U$

Решение:

Мощность, которую генератор отдает в линию электропередачи, равна $P$. Действующее значение напряжения на клеммах генератора $U$ связано с этой мощностью и действующим значением силы тока $I$ в линии соотношением:

$P = U \cdot I$

При передаче энергии по линии часть мощности теряется из-за нагрева проводов. Мощность потерь $P_{потерь}$ определяется законом Джоуля-Ленца:

$P_{потерь} = I^2 R$

Коэффициент полезного действия (КПД) $\eta$ показывает, какая доля энергии дошла до потребителя. Следовательно, доля потерянной энергии составляет $(1 - \eta)$. Мощность потерь можно выразить через общую мощность $P$:

$P_{потерь} = P \cdot (1 - \eta)$

Теперь у нас есть два выражения для мощности потерь. Приравняем их:

$I^2 R = P(1 - \eta)$

Из этой формулы мы можем выразить силу тока $I$:

$I = \sqrt{\frac{P(1 - \eta)}{R}}$

Вернемся к формуле для мощности генератора $P = U \cdot I$ и выразим из нее напряжение $U$:

$U = \frac{P}{I}$

Подставим в это уравнение выражение для тока $I$, которое мы нашли ранее:

$U = \frac{P}{\sqrt{\frac{P(1 - \eta)}{R}}} = P \cdot \sqrt{\frac{R}{P(1 - \eta)}} = \sqrt{\frac{P^2 R}{P(1 - \eta)}} = \sqrt{\frac{P R}{1 - \eta}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$U = \sqrt{\frac{5,0 \cdot 10^6 \text{ Вт} \cdot 36 \text{ Ом}}{1 - 0,95}} = \sqrt{\frac{180 \cdot 10^6}{0,05}} = \sqrt{3600 \cdot 10^6} = \sqrt{36 \cdot 10^8} = 6 \cdot 10^4 \text{ В}$

Переведем результат в киловольты: $6 \cdot 10^4 \text{ В} = 60 \text{ кВ}$.

Ответ: действующее значение напряжения на клеммах генератора равно $60 \text{ кВ}$.