Номер 261, страница 81 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

261. *Электрическая энергия от генератора переменного напряжения с внутренним сопротивлением $r$ и максимальным значением ЭДС $\mathcal{E}_0$ передается потребителю на расстояние $l$ по двухпроводной линии электропередачи. Удельное сопротивление материала проводов линии $\rho$, их диаметр $d$. Определите, какое количество теплоты выделяется в потребителе за время $t$, если сопротивление потребителя $R_\text{п}$.

Дано:

$r$ – внутреннее сопротивление генератора

$\mathcal{E}_0$ – максимальное значение (амплитуда) ЭДС

$l$ – расстояние от генератора до потребителя

$\rho$ – удельное сопротивление материала проводов

$d$ – диаметр проводов

$R_п$ – сопротивление потребителя

$t$ – время

Найти:

$Q_п$ – количество теплоты, выделившееся в потребителе

Решение:

В цепь переменного тока последовательно включены: внутреннее сопротивление генератора $r$, сопротивление двухпроводной линии электропередачи $R_л$ и сопротивление потребителя $R_п$.

1. Найдем сопротивление линии электропередачи. Линия двухпроводная, поэтому ее общая длина составляет $L = 2l$. Площадь поперечного сечения каждого провода равна $S = \frac{\pi d^2}{4}$. Тогда сопротивление линии:

$R_л = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{2l}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{8\rho l}{\pi d^2}$

2. Определим полное сопротивление цепи $R_{общ}$. Так как все элементы соединены последовательно, их сопротивления складываются:

$R_{общ} = r + R_л + R_п = r + \frac{8\rho l}{\pi d^2} + R_п$

3. Для цепи переменного тока количество теплоты определяется по закону Джоуля-Ленца с использованием действующего (эффективного) значения силы тока $I_{эфф}$.

$Q_п = I_{эфф}^2 R_п t$

4. Действующее значение силы тока найдем по закону Ома для полной цепи. Действующее значение ЭДС $\mathcal{E}_{эфф}$ связано с максимальным значением $\mathcal{E}_0$ соотношением:

$\mathcal{E}_{эфф} = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2}}$

Тогда действующее значение силы тока в цепи:

$I_{эфф} = \frac{\mathcal{E}_{эфф}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2} R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2} \left(r + \frac{8\rho l}{\pi d^2} + R_п\right)}$

5. Подставим выражение для действующего тока в формулу для количества теплоты:

$Q_п = \left( \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{2} \left(r + \frac{8\rho l}{\pi d^2} + R_п\right)} \right)^2 R_п t$

$Q_п = \frac{\mathcal{E}_0^2}{2 \left(r + \frac{8\rho l}{\pi d^2} + R_п\right)^2} R_п t$

Ответ: $Q_п = \frac{\mathcal{E}_0^2 R_п t}{2 \left(R_п + r + \frac{8\rho l}{\pi d^2}\right)^2}$