Номер 260, страница 81 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

260. *От генератора с действующим значением ЭДС $\mathcal{E}_{\text{д}}$ и имеющим на выходе мощность $P$ энергия передается потребителю по линии электропередачи сопротивлением $R$. Определите КПД линии электропередачи. Внутренним сопротивлением генератора пренебречь.

Дано:

Действующее значение ЭДС генератора: $\mathscr{E}_д$

Мощность на выходе генератора: $P$

Сопротивление линии электропередачи: $R$

Найти:

КПД линии электропередачи: $\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) линии электропередачи ($\eta$) определяется как отношение полезной мощности, доставленной потребителю ($P_{полезная}$), к полной мощности, отдаваемой генератором ($P_{полная}$).

$\eta = \frac{P_{полезная}}{P_{полная}}$

Согласно условию, полная мощность, которую генератор отдает во внешнюю цепь, равна $P$.

$P_{полная} = P$

В процессе передачи энергии по линии часть мощности теряется из-за нагрева проводов. Мощность потерь ($P_{потери}$) определяется законом Джоуля-Ленца:

$P_{потери} = I_д^2 R$,

где $I_д$ — действующее значение силы тока в линии.

Полезная мощность, которая доходит до потребителя, — это разность между полной мощностью и мощностью потерь:

$P_{полезная} = P_{полная} - P_{потери} = P - I_д^2 R$

Подставив выражения для мощностей в формулу КПД, получим:

$\eta = \frac{P - I_д^2 R}{P} = 1 - \frac{I_д^2 R}{P}$

Выходная мощность генератора связана с его ЭДС и силой тока. Поскольку внутренним сопротивлением генератора можно пренебречь, напряжение на его выходе равно его ЭДС ($\mathscr{E}_д$). Тогда мощность на выходе генератора равна:

$P = \mathscr{E}_д I_д$

Из этого соотношения выразим действующее значение силы тока:

$I_д = \frac{P}{\mathscr{E}_д}$

Теперь подставим полученное выражение для $I_д$ в формулу для КПД:

$\eta = 1 - \frac{(\frac{P}{\mathscr{E}_д})^2 R}{P} = 1 - \frac{\frac{P^2 R}{\mathscr{E}_д^2}}{P}$

После сокращения $P$ в числителе и знаменателе дроби получаем окончательное выражение для КПД:

$\eta = 1 - \frac{P R}{\mathscr{E}_д^2}$

Ответ: $\eta = 1 - \frac{P R}{\mathscr{E}_д^2}$.