Номер 258, страница 80 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

258. *На какое максимальное расстояние можно передавать электроэнергию от генератора переменного напряжения, действующее значение на клеммах которого $U_д = 5$ кВ, чтобы нагрузка с сопротивлением $R = 1,6$ кОм потребляла мощность не менее $P = 10$ кВт? Удельное сопротивление соединительных проводов $\rho = 2,8 \cdot 10^{-8}$ Ом $\cdot$ м, их поперечное сечение $S = 4,2$ мм$^2$. Внутренним сопротивлением генератора пренебречь.

Дано:

$U_д = 5 \text{ кВ} = 5 \cdot 10^3 \text{ В}$

$R = 1,6 \text{ кОм} = 1,6 \cdot 10^3 \text{ Ом}$

$P = 10 \text{ кВт} = 1 \cdot 10^4 \text{ Вт}$

$\rho = 2,8 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

$S = 4,2 \text{ мм}^2 = 4,2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

Найти:

$L_{max}$ - ?

Решение:

Электрическая цепь состоит из генератора, соединительных проводов и нагрузки. Сопротивление соединительных проводов $R_{пр}$ и сопротивление нагрузки $R$ соединены последовательно. Общее сопротивление цепи (пренебрегая внутренним сопротивлением генератора) равно $R_{общ} = R + R_{пр}$.

Мощность, потребляемая нагрузкой, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

где $I$ – действующее значение силы тока в цепи. Из этой формулы можно выразить силу тока, необходимую для обеспечения минимальной мощности на нагрузке:

$I = \sqrt{\frac{P}{R}}$

С другой стороны, по закону Ома для полной цепи, сила тока равна:

$I = \frac{U_д}{R_{общ}} = \frac{U_д}{R + R_{пр}}$

Приравнивая выражения для силы тока, получим:

$\sqrt{\frac{P}{R}} = \frac{U_д}{R + R_{пр}}$

Максимальному расстоянию передачи энергии соответствует максимальное сопротивление проводов $R_{пр}$, при котором мощность на нагрузке будет не менее заданной, то есть равна $P = 10 \text{ кВт}$. Выразим $R_{пр}$ из этого уравнения:

$R + R_{пр} = U_д \sqrt{\frac{R}{P}}$

$R_{пр} = U_д \sqrt{\frac{R}{P}} - R$

Сопротивление соединительных проводов также можно выразить через их геометрические параметры и удельное сопротивление материала. Поскольку для передачи энергии нужны два провода (прямой и обратный), их общая длина $l$ в два раза больше расстояния $L$ до нагрузки: $l = 2L$.

$R_{пр} = \frac{\rho l}{S} = \frac{2 \rho L}{S}$

Приравнивая два выражения для $R_{пр}$, найдем максимальное расстояние $L_{max}$:

$\frac{2 \rho L_{max}}{S} = U_д \sqrt{\frac{R}{P}} - R$

$L_{max} = \frac{S}{2 \rho} \left( U_д \sqrt{\frac{R}{P}} - R \right)$

Подставим числовые значения:

$L_{max} = \frac{4,2 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 2,8 \cdot 10^{-8}} \left( 5 \cdot 10^3 \sqrt{\frac{1,6 \cdot 10^3}{10^4}} - 1,6 \cdot 10^3 \right)$

$L_{max} = \frac{4,2}{5,6} \cdot 10^2 \left( 5 \cdot 10^3 \sqrt{0,16} - 1,6 \cdot 10^3 \right)$

$L_{max} = 0,75 \cdot 10^2 \left( 5 \cdot 10^3 \cdot 0,4 - 1,6 \cdot 10^3 \right)$

$L_{max} = 75 \left( 2 \cdot 10^3 - 1,6 \cdot 10^3 \right)$

$L_{max} = 75 \cdot (0,4 \cdot 10^3) = 75 \cdot 400 = 30000 \text{ м}$

$L_{max} = 30 \text{ км}$

Ответ: максимальное расстояние, на которое можно передавать электроэнергию при заданных условиях, составляет 30 км.