Номер 256, страница 80 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

256. *Электроэнергия передается от электростанции к потребителю по линии электропередачи. При этом действующее значение напряжения на потребителе $U_{\text{д}} = 600$ В, а мощность, получаемая потребителем, $P = 8,0$ кВт. Определите сопротивление ЛЭП, если потери мощности в ней составляют $\alpha = 5,0$ % передаваемой мощности.

Дано:

$U_д = 600$ В
$P = 8,0$ кВт
$\alpha = 5,0$ %

$P = 8,0 \cdot 10^3$ Вт
$\alpha = 0,05$

Найти:

$R_{ЛЭП}$

Решение:

Мощность, которую получает потребитель ($P$), связана с напряжением на нем ($U_д$) и силой тока ($I$) в линии электропередачи (ЛЭП) по формуле:
$P = U_д \cdot I$
Из этой формулы мы можем выразить силу тока, протекающего по ЛЭП и через потребителя:
$I = \frac{P}{U_д}$

Потери мощности в ЛЭП ($P_{потерь}$) происходят из-за нагрева проводов (закон Джоуля-Ленца) и рассчитываются по формуле:
$P_{потерь} = I^2 \cdot R_{ЛЭП}$
где $R_{ЛЭП}$ — искомое сопротивление ЛЭП.

Согласно условию задачи, потери мощности составляют долю $\alpha$ от передаваемой мощности. Передаваемая мощность — это та мощность, которую отдает электростанция ($P_{станции}$). Она складывается из мощности, полученной потребителем ($P$), и мощности потерь в линии ($P_{потерь}$):
$P_{станции} = P + P_{потерь}$
Таким образом, условие о потерях можно записать в виде уравнения:
$P_{потерь} = \alpha \cdot P_{станции} = \alpha (P + P_{потерь})$

Выразим из этого уравнения величину потерь мощности $P_{потерь}$:
$P_{потерь} - \alpha \cdot P_{потерь} = \alpha \cdot P$
$P_{потерь}(1 - \alpha) = \alpha \cdot P$
$P_{потерь} = \frac{\alpha \cdot P}{1 - \alpha}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $P_{потерь}$:
$I^2 \cdot R_{ЛЭП} = \frac{\alpha \cdot P}{1 - \alpha}$
Подставим в это уравнение выражение для силы тока $I = \frac{P}{U_д}$:
$(\frac{P}{U_д})^2 \cdot R_{ЛЭП} = \frac{\alpha \cdot P}{1 - \alpha}$
Теперь выразим сопротивление $R_{ЛЭП}$:
$R_{ЛЭП} = \frac{\alpha \cdot P}{1 - \alpha} \cdot (\frac{U_д}{P})^2 = \frac{\alpha \cdot P \cdot U_д^2}{(1 - \alpha) \cdot P^2} = \frac{\alpha \cdot U_д^2}{(1 - \alpha) \cdot P}$

Выполним расчет, подставив числовые значения:
$R_{ЛЭП} = \frac{0,05 \cdot (600 \text{ В})^2}{(1 - 0,05) \cdot 8,0 \cdot 10^3 \text{ Вт}} = \frac{0,05 \cdot 360000 \text{ В}^2}{0,95 \cdot 8000 \text{ Вт}} = \frac{18000}{7600}$ Ом $\approx 2,368$ Ом.

Значения мощности и потерь в условии даны с двумя значащими цифрами, поэтому округлим результат до двух значащих цифр.
Ответ: $R_{ЛЭП} \approx 2,4$ Ом.