Номер 271, страница 83 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

271. Спутниковая система навигации работает по следующему принципу. Из сообщений, постоянно передаваемых навигационными спутниками, можно получить информацию о координатах спутника и точном времени отправки сообщения. В приемнике нет точных часов, но разность времени распространения сигнала от разных спутников до приемника можно узнать с большой точностью. По этим данным легко рассчитать координаты приемника. Пусть приемник и два спутника находятся на оси $Ox$. Координаты спутников $x_1 = -100,000$ км, $x_2 = 50,000$ км. Сигнал от первого спутника до приемника распространялся на $\Delta t = 100$ мкс дольше, чем сигнал от второго спутника. Определите координату приемника.

Дано:

Координата первого спутника: $x_1 = -100\,000 \text{ км}$

Координата второго спутника: $x_2 = 50\,000 \text{ км}$

Разность времени распространения сигнала: $\Delta t = 100 \text{ мкс}$

Скорость света (скорость распространения сигнала): $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:
$x_1 = -100\,000 \text{ км} = -100\,000 \times 10^3 \text{ м} = -1 \times 10^8 \text{ м}$
$x_2 = 50\,000 \text{ км} = 50\,000 \times 10^3 \text{ м} = 5 \times 10^7 \text{ м}$
$\Delta t = 100 \text{ мкс} = 100 \times 10^{-6} \text{ с} = 1 \times 10^{-4} \text{ с}$

Найти:

Координату приемника $x$.

Решение:

Пусть $x$ – координата приемника. Расстояние, которое проходит сигнал от спутника до приемника, равно модулю разности их координат. Обозначим расстояния от первого и второго спутников до приемника как $d_1$ и $d_2$ соответственно:

$d_1 = |x - x_1|$

$d_2 = |x - x_2|$

Время распространения сигнала от каждого спутника до приемника ($t_1$ и $t_2$) равно отношению расстояния к скорости света $c$:

$t_1 = \frac{d_1}{c} = \frac{|x - x_1|}{c}$

$t_2 = \frac{d_2}{c} = \frac{|x - x_2|}{c}$

Согласно условию, сигнал от первого спутника распространялся на $\Delta t = 100 \text{ мкс}$ дольше, чем сигнал от второго. Это можно записать в виде уравнения:

$t_1 - t_2 = \Delta t$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение:

$\frac{|x - x_1|}{c} - \frac{|x - x_2|}{c} = \Delta t$

Выразим разность расстояний:

$|x - x_1| - |x - x_2| = c \Delta t$

Рассчитаем значение $c \Delta t$ в километрах для удобства дальнейших вычислений:

$c \Delta t = (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \times (1 \times 10^{-4} \text{ с}) = 3 \times 10^4 \text{ м} = 30 \text{ км}$

Теперь подставим числовые значения координат спутников (в км) в уравнение:

$|x - (-100\,000)| - |x - 50\,000| = 30$

$|x + 100\,000| - |x - 50\,000| = 30$

Для решения этого уравнения с модулями рассмотрим три возможных интервала для координаты приемника $x$ на оси Ox.

1. $x < -100\,000$

В этом случае оба выражения под модулями отрицательны: $x + 100\,000 < 0$ и $x - 50\,000 < 0$. Раскрываем модули с противоположным знаком:

$-(x + 100\,000) - (-(x - 50\,000)) = 30$

$-x - 100\,000 + x - 50\,000 = 30$

$-150\,000 = 30$

Получено неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.

2. $-100\,000 \le x < 50\,000$

В этом интервале первое выражение под модулем неотрицательно ($x + 100\,000 \ge 0$), а второе отрицательно ($x - 50\,000 < 0$). Раскрываем модули:

$(x + 100\,000) - (-(x - 50\,000)) = 30$

$x + 100\,000 + x - 50\,000 = 30$

$2x + 50\,000 = 30$

$2x = 30 - 50\,000$

$2x = -49\,970$

$x = -24\,985$

Значение $x = -24\,985 \text{ км}$ принадлежит рассматриваемому интервалу $[-100\,000; 50\,000)$, поэтому оно является решением.

3. $x \ge 50\,000$

В этом случае оба выражения под модулями неотрицательны: $x + 100\,000 > 0$ и $x - 50\,000 \ge 0$. Раскрываем модули:

$(x + 100\,000) - (x - 50\,000) = 30$

$x + 100\,000 - x + 50\,000 = 30$

$150\,000 = 30$

Получено неверное равенство, значит, и в этом интервале решений нет.

Единственным решением является $x = -24\,985 \text{ км}$.

Ответ: координата приемника равна -24 985 км.