Номер 276, страница 84 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

276. Радар излучил в сторону приближающегося к нему автомобиля два коротких электромагнитных импульса, следующих друг за другом через промежуток времени $\Delta t_1 = 0,20$ с. Импульсы, отразившись от автомобиля, были приняты радаром. Причем разница между временем распространения первого и второго импульса составила $\Delta t = 44$ нс. Определите модуль скорости движения автомобиля.

Дано:

$Δt_1 = 0,20$ с

$Δt = 44$ нс

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света)

Перевод в систему СИ:

$Δt = 44 \text{ нс} = 44 \cdot 10^{-9}$ с

Найти:

$v$ - модуль скорости движения автомобиля.

Решение:

Пусть в момент времени $t=0$, когда радар излучает первый импульс, расстояние до автомобиля равно $L_1$. Автомобиль приближается к радару со скоростью $v$. Электромагнитные импульсы распространяются со скоростью света $c$.

Рассмотрим движение первого импульса. Он движется навстречу автомобилю. Скорость их сближения равна $c+v$. Время, за которое импульс достигнет автомобиля, равно:

$t_{1,туда} = \frac{L_1}{c+v}$

За это время импульс пройдет расстояние $x_1 = c \cdot t_{1,туда} = \frac{c L_1}{c+v}$. После отражения импульс вернется к радару, пройдя то же расстояние $x_1$ со скоростью $c$. Время возвращения составит:

$t_{1,обратно} = \frac{x_1}{c} = \frac{L_1}{c+v}$

Таким образом, полное время распространения первого импульса (время от излучения до приема) равно:

$T_1 = t_{1,туда} + t_{1,обратно} = \frac{2L_1}{c+v}$

Второй импульс излучается через промежуток времени $Δt_1$. За это время автомобиль приблизится к радару на расстояние $v \cdot Δt_1$. Новое расстояние до автомобиля в момент излучения второго импульса будет:

$L_2 = L_1 - v \cdot Δt_1$

Аналогично рассуждая для второго импульса, найдем его полное время распространения:

$T_2 = \frac{2L_2}{c+v} = \frac{2(L_1 - v \cdot Δt_1)}{c+v}$

По условию задачи, разница между временем распространения первого и второго импульса составляет $Δt$. Так как автомобиль приближается, $L_1 > L_2$, и, следовательно, $T_1 > T_2$. Запишем:

$Δt = T_1 - T_2 = \frac{2L_1}{c+v} - \frac{2(L_1 - v \cdot Δt_1)}{c+v}$

Упростим выражение:

$Δt = \frac{2L_1 - 2L_1 + 2v \cdot Δt_1}{c+v} = \frac{2v \cdot Δt_1}{c+v}$

Теперь выразим из этого уравнения скорость автомобиля $v$:

$Δt \cdot (c+v) = 2v \cdot Δt_1$

$Δt \cdot c + Δt \cdot v = 2v \cdot Δt_1$

$Δt \cdot c = 2v \cdot Δt_1 - Δt \cdot v$

$Δt \cdot c = v \cdot (2Δt_1 - Δt)$

$v = \frac{c \cdot Δt}{2Δt_1 - Δt}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot 44 \cdot 10^{-9} \text{ с}}{2 \cdot 0,20 \text{ с} - 44 \cdot 10^{-9} \text{ с}} = \frac{13,2 \text{ м}}{0,4 \text{ с} - 0,000000044 \text{ с}} = \frac{13,2}{0,399999956} \text{ м/с} \approx 33$ м/с.

Ответ: модуль скорости движения автомобиля составляет 33 м/с.