Номер 279, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

279. Определите длину волны радиоизлучения передатчика, если в колебательном контуре, задающем частоту передатчика, максимальный заряд конденсатора $q_0 = 20 \text{ нКл}$, максимальная сила тока в катушке $I_0 = 1,0 \text{ А}$.

Дано:

Максимальный заряд конденсатора $q_0 = 20 \text{ нКл}$

Максимальная сила тока в катушке $I_0 = 1,0 \text{ А}$

Скорость света в вакууме $c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в СИ:

$q_0 = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Длину волны радиоизлучения $\lambda$.

Решение:

Длина волны $\lambda$ электромагнитного излучения, генерируемого колебательным контуром, связана со скоростью света $c$ и периодом колебаний в контуре $T$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период колебаний $T$ в свою очередь связан с циклической частотой $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

В идеальном колебательном контуре заряд на обкладках конденсатора и сила тока в катушке изменяются по гармоническому закону. Если заряд изменяется по закону $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$, то сила тока $i(t)$ как производная заряда по времени $i(t) = q'(t)$ будет равна:

$i(t) = (q_0 \cos(\omega t))' = -q_0 \omega \sin(\omega t)$

Амплитуда (максимальное значение) силы тока $I_0$ равна $q_0 \omega$:

$I_0 = q_0 \omega$

Из этой формулы можно выразить циклическую частоту $\omega$ через известные величины $I_0$ и $q_0$:

$\omega = \frac{I_0}{q_0}$

Теперь подставим это выражение в формулу для периода $T$:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi q_0}{I_0}$

И, наконец, подставим полученное выражение для периода в формулу для длины волны $\lambda$:

$\lambda = c \cdot T = c \frac{2\pi q_0}{I_0}$

Выполним расчеты, подставив числовые значения:

$\lambda = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{2\pi \cdot 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{1,0 \text{ А}} = 3 \cdot 10^8 \cdot 2\pi \cdot 20 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 120\pi \cdot 10^{-1} \text{ м} = 12\pi \text{ м}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$\lambda \approx 12 \cdot 3,14 = 37,68 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных, получим:

$\lambda \approx 38 \text{ м}$

Ответ: $\lambda \approx 38 \text{ м}$.