Номер 277, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

277. Ширина одного из диапазонов длин радиоволн, используемых для сети 5G, $\Delta\lambda = 0,7$ см, при этом ширина диапазона частот $\Delta\nu = 1,0$ ГГц. Определите максимальную длину волны этого диапазона.

Дано

$ \Delta\lambda = 0,7 \text{ см} = 0,007 \text{ м} $

$ \Delta\nu = 1,0 \text{ ГГц} = 1,0 \cdot 10^9 \text{ Гц} $

$ c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} $ (скорость света в вакууме)

Найти:

$ \lambda_{max} $

Решение

Связь между длиной электромагнитной волны $ \lambda $, её частотой $ \nu $ и скоростью света $ c $ описывается формулой:

$ \lambda = \frac{c}{\nu} $

Ширина диапазона длин волн $ \Delta\lambda $ и ширина диапазона частот $ \Delta\nu $ определяются как разность между максимальными и минимальными значениями:

$ \Delta\lambda = \lambda_{max} - \lambda_{min} $

$ \Delta\nu = \nu_{max} - \nu_{min} $

Поскольку длина волны и частота обратно пропорциональны, максимальной длине волны $ \lambda_{max} $ соответствует минимальная частота $ \nu_{min} $, а минимальной длине волны $ \lambda_{min} $ — максимальная частота $ \nu_{max} $.

$ \lambda_{max} = \frac{c}{\nu_{min}} \quad (1) $

$ \lambda_{min} = \frac{c}{\nu_{max}} \quad (2) $

Из определений диапазонов выразим $ \lambda_{min} $ и $ \nu_{max} $:

$ \lambda_{min} = \lambda_{max} - \Delta\lambda $

$ \nu_{max} = \nu_{min} + \Delta\nu $

Подставим эти выражения в уравнение (2):

$ \lambda_{max} - \Delta\lambda = \frac{c}{\nu_{min} + \Delta\nu} $

Из уравнения (1) выразим $ \nu_{min} = \frac{c}{\lambda_{max}} $ и подставим в полученное выше уравнение:

$ \lambda_{max} - \Delta\lambda = \frac{c}{\frac{c}{\lambda_{max}} + \Delta\nu} $

Преобразуем это уравнение, чтобы решить его относительно $ \lambda_{max} $.

$ (\lambda_{max} - \Delta\lambda) \cdot (\frac{c}{\lambda_{max}} + \Delta\nu) = c $

Раскроем скобки:

$ \lambda_{max} \cdot \frac{c}{\lambda_{max}} + \lambda_{max} \cdot \Delta\nu - \Delta\lambda \cdot \frac{c}{\lambda_{max}} - \Delta\lambda \cdot \Delta\nu = c $

$ c + \lambda_{max}\Delta\nu - \frac{c\Delta\lambda}{\lambda_{max}} - \Delta\lambda\Delta\nu = c $

Вычтем $ c $ из обеих частей уравнения:

$ \lambda_{max}\Delta\nu - \frac{c\Delta\lambda}{\lambda_{max}} - \Delta\lambda\Delta\nu = 0 $

Умножим обе части на $ \lambda_{max} $ (так как $ \lambda_{max} \neq 0 $):

$ \lambda_{max}^2\Delta\nu - c\Delta\lambda - \lambda_{max}\Delta\lambda\Delta\nu = 0 $

Запишем это как стандартное квадратное уравнение вида $ a x^2 + b x + c' = 0 $, где $ x = \lambda_{max} $:

$ \Delta\nu \cdot \lambda_{max}^2 - (\Delta\lambda\Delta\nu) \cdot \lambda_{max} - c\Delta\lambda = 0 $

Подставим числовые значения в коэффициенты уравнения (в системе СИ):

$ a = \Delta\nu = 10^9 $

$ b = -\Delta\lambda\Delta\nu = -0,007 \cdot 10^9 = -7 \cdot 10^6 $

$ c' = -c\Delta\lambda = -3 \cdot 10^8 \cdot 0,007 = -2,1 \cdot 10^6 $

Найдем дискриминант $ D = b^2 - 4ac' $:

$ D = (-7 \cdot 10^6)^2 - 4 \cdot 10^9 \cdot (-2,1 \cdot 10^6) = 49 \cdot 10^{12} + 8,4 \cdot 10^{15} = 0,049 \cdot 10^{15} + 8,4 \cdot 10^{15} = 8,449 \cdot 10^{15} $

Найдем корень из дискриминанта:

$ \sqrt{D} = \sqrt{8,449 \cdot 10^{15}} = \sqrt{84,49 \cdot 10^{14}} \approx 9,192 \cdot 10^7 $

Найдем корень уравнения по формуле $ \lambda_{max} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $. Так как длина волны является положительной величиной, выбираем знак «+» перед корнем.

$ \lambda_{max} = \frac{7 \cdot 10^6 + 9,192 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^9} = \frac{0,7 \cdot 10^7 + 9,192 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^9} = \frac{9,892 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^9} \approx 4,946 \cdot 10^{-2} \text{ м} $

Переведем результат в сантиметры и округлим до двух значащих цифр:

$ \lambda_{max} \approx 4,9 \text{ см} $

Ответ: максимальная длина волны этого диапазона составляет приблизительно 4,9 см.