Номер 284, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

284. При равномерном убывании силы тока со скоростью $\frac{\Delta I}{\Delta t}=-0,5 \frac{\text{А}}{\text{с}}$ в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_c = 2,0 \text{ мкВ}$. Определите электроемкость конденсатора, с которым следует соединить данную катушку, чтобы эту цепь можно было использовать как приемный колебательный контур в радиоприемнике, настроенном на длину волны $\lambda = 300 \text{ м}$.

Дано:

Скорость убывания силы тока, $\frac{\Delta I}{\Delta t} = -0,5$ А/с

ЭДС самоиндукции, $\mathscr{E}_с = 2,0$ мкВ

Длина волны, $\lambda = 300$ м

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$\mathscr{E}_с = 2,0 \cdot 10^{-6}$ В

Найти:

Электроемкость конденсатора, $C$

Решение:

1. Сначала найдем индуктивность $L$ катушки. ЭДС самоиндукции $\mathscr{E}_с$, возникающая в катушке, связана с индуктивностью и скоростью изменения силы тока $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ следующей формулой:

$\mathscr{E}_с = -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$

Из этой формулы выразим индуктивность $L$:

$L = -\frac{\mathscr{E}_с}{\frac{\Delta I}{\Delta t}}$

Подставим известные значения в полученное выражение:

$L = -\frac{2,0 \cdot 10^{-6} \text{ В}}{-0,5 \text{ А/с}} = 4,0 \cdot 10^{-6}$ Гн.

2. Для того чтобы колебательный контур был настроен на прием радиоволны с длиной $\lambda$, период собственных колебаний контура $T$ должен быть равен периоду этой волны. Период электромагнитной волны связан с ее длиной и скоростью света $c$ соотношением:

$T = \frac{\lambda}{c}$

Период собственных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Приравнивая выражения для периода, получаем:

$\frac{\lambda}{c} = 2\pi\sqrt{LC}$

Для нахождения емкости $C$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{\lambda}{c})^2 = (2\pi)^2 LC$

$\frac{\lambda^2}{c^2} = 4\pi^2 LC$

Теперь выразим искомую электроемкость $C$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}$

Подставим числовые значения, включая ранее найденное значение индуктивности $L$:

$C = \frac{(300 \text{ м})^2}{4\pi^2 (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 (4,0 \cdot 10^{-6} \text{ Гн})} = \frac{9 \cdot 10^4}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 4 \cdot 10^{-6}} = \frac{1 \cdot 10^4}{16\pi^2 \cdot 10^{10}} = \frac{1}{16\pi^2} \cdot 10^{-6}$ Ф.

Вычислим численное значение, приняв $\pi^2 \approx 9,87$:

$C \approx \frac{1}{16 \cdot 9,87} \cdot 10^{-6} \approx \frac{1}{157,92} \cdot 10^{-6} \approx 0,00633 \cdot 10^{-6}$ Ф.

Переведем результат в нанофарады ($1 \text{ нФ} = 10^{-9} \text{ Ф}$):

$C \approx 6,33 \cdot 10^{-9}$ Ф = 6,33 нФ.

Ответ: электроемкость конденсатора должна быть приблизительно 6,33 нФ.