Номер 281, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

281. Какой интервал частот может перекрыть один из диапазонов радиоприемника, в котором приемный колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L = 1,0 \text{ мкГн}$ и конденсатора, емкость которого изменяется от $C_1 = 40 \text{ пФ}$ до $C_2 = 100 \text{ пФ}$?

Дано:

$L = 1,0 \text{ мкГн} = 1,0 \times 10^{-6} \text{ Гн}$

$C_1 = 40 \text{ пФ} = 40 \times 10^{-12} \text{ Ф}$

$C_2 = 100 \text{ пФ} = 100 \times 10^{-12} \text{ Ф} = 1,0 \times 10^{-10} \text{ Ф}$

Найти:

Интервал частот $\Delta\nu = [\nu_{min}; \nu_{max}]$

Решение:

Собственная частота колебаний в приемном контуре радиоприемника определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Из этой формулы следует, что частота $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из емкости $C$. Это означает, что при увеличении емкости частота уменьшается, а при уменьшении емкости — увеличивается.

Таким образом, минимальная частота диапазона $\nu_{min}$ будет соответствовать максимальной емкости конденсатора $C_2$, а максимальная частота $\nu_{max}$ — минимальной емкости $C_1$.

Рассчитаем минимальную частоту:

$\nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1,0 \times 10^{-6} \text{ Гн} \times 100 \times 10^{-12} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-16} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-8} \text{ с}} \approx \frac{10^8}{2 \times 3,14} \text{ Гц} \approx 15,9 \times 10^6 \text{ Гц} = 15,9 \text{ МГц}$

Рассчитаем максимальную частоту:

$\nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1,0 \times 10^{-6} \text{ Гн} \times 40 \times 10^{-12} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \times 10^{-17} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{40 \times 10^{-18} \text{ с}^2}} = \frac{1}{2\pi \cdot 2\sqrt{10} \times 10^{-9} \text{ с}} \approx \frac{10^9}{4 \times 3,14 \times 3,16} \text{ Гц} \approx 25,2 \times 10^6 \text{ Гц} = 25,2 \text{ МГц}$

Следовательно, данный колебательный контур может перекрывать интервал частот от 15,9 МГц до 25,2 МГц.

Ответ: радиоприемник может перекрыть интервал частот от 15,9 МГц до 25,2 МГц.