Номер 278, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

278. Приемный колебательный контур радиоприемника состоит из катушки индуктивностью $L = 2,0 \, \text{мкГн}$ и конденсатора емкостью $C = 1,8 \, \text{нФ}$. На какую длину волны настроен радиоприемник?

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 2,0 \text{ мкГн} = 2,0 \times 10^{-6} \text{ Гн}$

Емкость конденсатора, $C = 1,8 \text{ нФ} = 1,8 \times 10^{-9} \text{ Ф}$

Скорость света в вакууме, $c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Длину волны $\lambda$ - ?

Решение:

Приемный колебательный контур радиоприемника настраивается на определенную длину волны путем подбора индуктивности $L$ и емкости $C$ так, чтобы собственная частота колебаний контура совпала с частотой принимаемой радиоволны. Это явление называется резонансом.

Длина волны $\lambda$ связана с периодом $T$ собственных электромагнитных колебаний в контуре и скоростью света $c$ соотношением:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Объединив эти две формулы, получим выражение для длины волны, на которую настроен контур:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$\lambda = 2\pi \cdot 3 \times 10^8 \cdot \sqrt{2,0 \times 10^{-6} \cdot 1,8 \times 10^{-9}}$

$\lambda = 6\pi \times 10^8 \cdot \sqrt{3,6 \times 10^{-15}}$

Для удобства вычисления преобразуем подкоренное выражение:

$\sqrt{3,6 \times 10^{-15}} = \sqrt{36 \times 10^{-16}} = 6 \times 10^{-8} \text{ с}$

Теперь вычислим длину волны:

$\lambda = 6\pi \times 10^8 \cdot 6 \times 10^{-8} = 36\pi \text{ м}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$, получим:

$\lambda \approx 36 \cdot 3,14159 \approx 113,097 \text{ м}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$\lambda \approx 113 \text{ м}$

Ответ: радиоприемник настроен на длину волны $\lambda \approx 113 \text{ м}$.