Номер 285, страница 86 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

285. Принцип работы одного из простейших радиомикрофонов следующий. В колебательном контуре, который задает частоту электромагнитных колебаний в радиопередатчике, используется катушка индуктивности и конденсаторный микрофон, который состоит из расположенных на небольшом расстоянии друг от друга электропроводной мембраны и металлической пластины, образующих конденсатор. Под действием звукового давления мембрана изгибается, изменяется расстояние между мембраной и пластиной, что приводит к изменению емкости конденсатора и, следовательно, частоты радиоволн, излучаемых передатчиком. При отсутствии звука частота колебаний в передатчике $v_0 = 433\;000$ кГц, а расстояние между мембраной и пластиной $h_0 = 0,10$ мм, определите:

а) изменение длины волны радиоизлучения при увеличении частоты колебаний в передатчике под действием звукового давления на $\Delta v = 10$ кГц;

б) изменение расстояния между мембраной и пластиной при этом изменении частоты на $\Delta v = 10$ кГц.

Дано:

$ν_0 = 433 \, 000$ кГц

$h_0 = 0,10$ мм

$\Delta ν = 10$ кГц

$c = 3 \times 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$ν_0 = 433 \, 000 \times 10^3 \text{ Гц} = 4.33 \times 10^8$ Гц

$h_0 = 0,10 \times 10^{-3} \text{ м} = 1.0 \times 10^{-4}$ м

$\Delta ν = 10 \times 10^3 \text{ Гц} = 1.0 \times 10^4$ Гц

Найти:

а) $\Delta \lambda$ - изменение длины волны радиоизлучения.

б) $\Delta h$ - изменение расстояния между мембраной и пластиной.

Решение:

а) Длина волны $\lambda$ связана с частотой $\nu$ и скоростью света $c$ соотношением $\lambda = c/\nu$.

Начальная длина волны (при отсутствии звука):

$\lambda_0 = \frac{c}{\nu_0}$

При воздействии звука частота увеличивается и становится равной:

$\nu_1 = \nu_0 + \Delta \nu$

Новая длина волны:

$\lambda_1 = \frac{c}{\nu_1} = \frac{c}{\nu_0 + \Delta \nu}$

Изменение длины волны $\Delta \lambda$ равно разности новой и начальной длин волн:

$\Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_0 = \frac{c}{\nu_0 + \Delta \nu} - \frac{c}{\nu_0} = c \left( \frac{1}{\nu_0 + \Delta \nu} - \frac{1}{\nu_0} \right) = c \frac{\nu_0 - (\nu_0 + \Delta \nu)}{\nu_0(\nu_0 + \Delta \nu)} = - \frac{c \Delta \nu}{\nu_0(\nu_0 + \Delta \nu)}$

Поскольку изменение частоты $\Delta \nu$ значительно меньше начальной частоты $\nu_0$, то в знаменателе можно считать, что $\nu_0 + \Delta \nu \approx \nu_0$. Тогда формула упрощается:

$\Delta \lambda \approx - \frac{c \Delta \nu}{\nu_0^2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta \lambda \approx - \frac{(3 \times 10^8 \text{ м/с}) \times (1.0 \times 10^4 \text{ Гц})}{(4.33 \times 10^8 \text{ Гц})^2} \approx - \frac{3 \times 10^{12}}{1.875 \times 10^{17}} \text{ м} \approx -1.6 \times 10^{-5}$ м

Знак "минус" показывает, что при увеличении частоты длина волны уменьшается.

Переведем в микрометры: $-1.6 \times 10^{-5} \text{ м} = -16$ мкм.

Ответ: Изменение длины волны радиоизлучения составляет $-16$ мкм.

б) Частота колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Емкость плоского конденсатора (микрофона) определяется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{h}$

где $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, $S$ - площадь пластин, $h$ - расстояние между ними. Мы предполагаем, что диэлектриком является воздух, поэтому диэлектрическая проницаемость $\varepsilon \approx 1$.

Подставим выражение для емкости в формулу частоты:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \frac{\varepsilon_0 S}{h}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\varepsilon_0 S}}\sqrt{h}$

Из этой формулы видно, что частота пропорциональна квадратному корню из расстояния между пластинами: $\nu \propto \sqrt{h}$.

Запишем это соотношение для двух состояний (с звуком и без):

$\frac{\nu_1}{\nu_0} = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}}$

Отсюда можем выразить новое расстояние $h_1$:

$h_1 = h_0 \left( \frac{\nu_1}{\nu_0} \right)^2 = h_0 \left( \frac{\nu_0 + \Delta \nu}{\nu_0} \right)^2 = h_0 \left( 1 + \frac{\Delta \nu}{\nu_0} \right)^2$

Изменение расстояния $\Delta h = h_1 - h_0$:

$\Delta h = h_0 \left( 1 + \frac{\Delta \nu}{\nu_0} \right)^2 - h_0 = h_0 \left[ \left( 1 + \frac{\Delta \nu}{\nu_0} \right)^2 - 1 \right]$

Поскольку $\frac{\Delta \nu}{\nu_0} \ll 1$, можно использовать приближенную формулу $(1+x)^2 \approx 1+2x$:

$\Delta h \approx h_0 \left[ \left( 1 + 2\frac{\Delta \nu}{\nu_0} \right) - 1 \right] = 2 h_0 \frac{\Delta \nu}{\nu_0}$

Подставим числовые значения:

$\Delta h \approx 2 \times (1.0 \times 10^{-4} \text{ м}) \times \frac{1.0 \times 10^4 \text{ Гц}}{4.33 \times 10^8 \text{ Гц}} \approx 4.6 \times 10^{-9}$ м

Переведем в нанометры: $4.6 \times 10^{-9} \text{ м} = 4.6$ нм.

Ответ: Изменение расстояния между мембраной и пластиной составляет $4.6$ нм.