Номер 282, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

282. Определите, во сколько раз нужно увеличить емкость конденсатора в приемном колебательном контуре радиоуправляемой игрушки, настроенном на частоту $v = 6{,}0 \cdot 10^6 \text{ Гц}$, чтобы игрушкой можно было управлять с помощью сигналов радиопередатчика, работающего на длине волны $\lambda = 100 \text{ м}$.

Дано:

Начальная частота настройки контура $ν_1 = 6,0 \cdot 10^6$ Гц

Длина волны радиопередатчика $λ_2 = 100$ м

Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$\frac{C_2}{C_1}$ — ?

Решение:

Резонансная частота колебательного контура определяется по формуле Томсона:

$ν = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — емкость конденсатора. Для перестройки контура с одной частоты на другую изменяют емкость конденсатора, при этом индуктивность катушки $L$ остается постоянной.

В начальном состоянии контур настроен на частоту $ν_1$ с емкостью $C_1$:

$ν_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}}$

Чтобы управлять игрушкой с помощью нового радиопередатчика, приемный контур нужно настроить на частоту его сигнала $ν_2$. Связь частоты и длины волны для электромагнитных волн выражается формулой:

$ν_2 = \frac{c}{λ_2}$

Вычислим новую частоту настройки:

$ν_2 = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{100 \text{ м}} = 3 \cdot 10^6 \text{ Гц}$

В конечном состоянии контур настроен на частоту $ν_2$ с новой емкостью $C_2$:

$ν_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}}$

Чтобы определить, во сколько раз нужно изменить емкость, найдем отношение $\frac{C_2}{C_1}$. Для этого выразим емкости из формул для частот.

Возведем обе части формулы Томсона в квадрат: $ν^2 = \frac{1}{4\pi^2LC}$.

Отсюда емкость $C = \frac{1}{4\pi^2Lν^2}$.

Тогда для начальной и конечной емкостей можем записать:

$C_1 = \frac{1}{4\pi^2Lν_1^2}$

$C_2 = \frac{1}{4\pi^2Lν_2^2}$

Найдем отношение $\frac{C_2}{C_1}$:

$\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{1}{4\pi^2Lν_2^2}}{\frac{1}{4\pi^2Lν_1^2}} = \frac{4\pi^2Lν_1^2}{4\pi^2Lν_2^2} = \frac{ν_1^2}{ν_2^2} = \left(\frac{ν_1}{ν_2}\right)^2$

Подставим числовые значения частот:

$\frac{C_2}{C_1} = \left(\frac{6,0 \cdot 10^6 \text{ Гц}}{3 \cdot 10^6 \text{ Гц}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Это означает, что конечная емкость $C_2$ в 4 раза больше начальной емкости $C_1$. Следовательно, емкость конденсатора нужно увеличить в 4 раза.

Ответ: Емкость конденсатора нужно увеличить в 4 раза.