Номер 283, страница 85 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

283. Радиоприемник, в котором приемный колебательный контур состоит из катушки и плоского воздушного конденсатора, настроен на длину волны $\lambda_1 = 300 \text{ м}$. При этом расстояние между пластинами конденсатора $d_1 = 6,4 \text{ мм}$. Определите, на сколько надо изменить расстояние между пластинами конденсатора, чтобы настроить приемник на длину волны $\lambda_2 = 240 \text{ м}$.

Дано:

$\lambda_1 = 300$ м

$\lambda_2 = 240$ м

$d_1 = 6,4 \text{ мм} = 6,4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$\Delta d$

Решение:

Длина волны $\lambda$, на которую настроен колебательный контур, связана с его периодом собственных колебаний $T$ соотношением $\lambda = cT$, где $c$ – скорость света в вакууме. Период колебаний контура определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$, где $L$ – индуктивность катушки, а $C$ – емкость конденсатора.

Объединив эти две формулы, получим выражение для длины волны:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Емкость плоского воздушного конденсатора вычисляется по формуле:

$C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$, где $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная, $S$ – площадь пластин конденсатора, $d$ – расстояние между пластинами.

Подставим выражение для емкости в формулу длины волны:

$\lambda = 2\pi c \sqrt{L \frac{\varepsilon_0 S}{d}}$

Из этой формулы видно, что длина волны пропорциональна квадратному корню из емкости, а емкость обратно пропорциональна расстоянию между пластинами. Следовательно, длина волны обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния между пластинами: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$.

Запишем это соотношение для двух состояний радиоприемника:

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2\pi c \sqrt{L \frac{\varepsilon_0 S}{d_1}}}{2\pi c \sqrt{L \frac{\varepsilon_0 S}{d_2}}} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2 = \frac{d_2}{d_1}$

Отсюда выразим расстояние $d_2$, которое необходимо установить для настройки на вторую длину волны:

$d_2 = d_1 \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$d_2 = 6,4 \cdot 10^{-3} \cdot \left(\frac{300}{240}\right)^2 = 6,4 \cdot 10^{-3} \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^2 = 6,4 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{25}{16} = 0,4 \cdot 10^{-3} \cdot 25 = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 10 \text{ мм}$

Теперь найдем, на сколько нужно изменить расстояние между пластинами. Так как $d_2 > d_1$, расстояние нужно увеличить.

$\Delta d = d_2 - d_1 = 10 \text{ мм} - 6,4 \text{ мм} = 3,6 \text{ мм}$

Ответ: расстояние между пластинами конденсатора надо увеличить на 3,6 мм.