Номер 297, страница 91 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

297. На рисунке 74 изображен световой луч, преломленный на границе воздух — фианит. Определите время, за которое в фианите свет приходит из точки B в точку C, если в воздухе из точки A в точку B свет приходит за время $t_1 = 3 \text{ нс}$, а абсолютный показатель преломления фианита $n = 2,24$.

Рис. 74

Дано:

Время прохождения света в воздухе, $t_1 = 3$ нс
Абсолютный показатель преломления фианита, $n = 2,24$
Абсолютный показатель преломления воздуха, $n_{воздуха} \approx 1$

$t_1 = 3 \times 10^{-9}$ с

Найти:

$t_2$ — время прохождения света в фианите.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся рисунком, чтобы определить соотношение длин путей, которые проходит свет в воздухе ($L_{AB}$) и в фианите ($L_{BC}$). Примем длину стороны одной клетки сетки за условную единицу $a$.

Длину отрезка AB найдем по теореме Пифагора. Горизонтальная проекция отрезка равна $4a$, вертикальная — $2a$.
$L_{AB} = \sqrt{(4a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{16a^2 + 4a^2} = \sqrt{20a^2} = a\sqrt{20} = 2a\sqrt{5}$.

Аналогично найдем длину отрезка BC. Горизонтальная проекция отрезка равна $a$, вертикальная — $2a$.
$L_{BC} = \sqrt{(1a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Найдем соотношение длин отрезков:
$\frac{L_{AB}}{L_{BC}} = \frac{2a\sqrt{5}}{a\sqrt{5}} = 2$, откуда $L_{BC} = \frac{L_{AB}}{2}$.

Время движения света определяется по формуле $t = \frac{L}{v}$, где $L$ — пройденный путь, а $v$ — скорость света в среде.
Для воздуха: $t_1 = \frac{L_{AB}}{v_1}$.
Для фианита: $t_2 = \frac{L_{BC}}{v_2}$.

Скорость света в среде связана со скоростью света в вакууме $c$ через абсолютный показатель преломления $n$: $v = \frac{c}{n}$.
Скорость света в воздухе $v_1 = \frac{c}{n_{воздуха}} \approx c$.
Скорость света в фианите $v_2 = \frac{c}{n}$.

Выразим $t_2$ через известные величины.
Из выражения для $t_1$ имеем $L_{AB} = v_1 \cdot t_1 \approx c \cdot t_1$.
Подставим все в формулу для $t_2$:
$t_2 = \frac{L_{BC}}{v_2} = \frac{L_{AB}/2}{c/n} = \frac{(c \cdot t_1)/2}{c/n} = \frac{c \cdot t_1 \cdot n}{2 \cdot c} = \frac{n \cdot t_1}{2}$.

Подставим числовые значения и вычислим:
$t_2 = \frac{2,24 \cdot 3 \text{ нс}}{2} = 1,12 \cdot 3 \text{ нс} = 3,36 \text{ нс}$.

Ответ: $3,36$ нс.