Номер 672, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

672. На фотоматрице цифровой камеры получили изображение предмета, которое в $k$ раз меньше предмета. При постоянном расстоянии от предмета до фотокамеры изменяли оптическую силу объектива $D$. На рисунке 182 представлен график зависимости $k$ от $D$. Чему равно расстояние от предмета до камеры?

Рис. 182

Дано:

График зависимости коэффициента уменьшения $k$ от оптической силы объектива $D$. Из графика возьмем две точки для проверки:

1. При $D_1 = 4$ дптр, $k_1 = 3$.

2. При $D_2 = 6$ дптр, $k_2 = 5$.

Найти:

$d$ — расстояние от предмета до камеры.

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{f'}$

где $D$ — оптическая сила линзы, $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f'$ — расстояние от линзы до изображения.

По условию, изображение на фотоматрице в $k$ раз меньше предмета. Это означает, что линейное увеличение линзы $\Gamma$ обратно пропорционально $k$:

$\Gamma = \frac{1}{k}$

Также, линейное увеличение определяется соотношением расстояний:

$\Gamma = \frac{f'}{d}$

Приравнивая два выражения для $\Gamma$, получаем:

$\frac{1}{k} = \frac{f'}{d}$

Отсюда выразим расстояние от линзы до изображения $f'$:

$f' = \frac{d}{k}$

Теперь подставим это выражение для $f'$ в формулу тонкой линзы:

$D = \frac{1}{d} + \frac{1}{d/k} = \frac{1}{d} + \frac{k}{d} = \frac{1+k}{d}$

Из полученной формулы выразим искомое расстояние от предмета до камеры $d$:

$d = \frac{1+k}{D}$

Теперь используем данные, взятые из графика. Возьмем точку, где $D_1 = 4$ дптр и $k_1 = 3$:

$d = \frac{1+3}{4 \text{ дптр}} = \frac{4}{4} \text{ м} = 1 \text{ м}$

Для проверки возьмем другую точку с графика, например, $D_2 = 6$ дптр и $k_2 = 5$:

$d = \frac{1+5}{6 \text{ дптр}} = \frac{6}{6} \text{ м} = 1 \text{ м}$

Результаты совпадают, следовательно, расстояние от предмета до камеры постоянно и равно 1 м.

Ответ: расстояние от предмета до камеры равно 1 м.