Номер 678, страница 202 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

678. *Точечный источник света и плоское зеркало закреплены на жесткой платформе (рис. 186, a). Источник света посылает в сторону зеркала короткий световой импульс, который в системе отсчета, связанной с платформой, возвращается обратно через время $t_0$. Платформа прямолинейно и равномерно движется относительно Земли со скоростью $\vec{v}_0$, перпендикулярной оптической оси системы. Траектория движения светового импульса в системе отсчета, связанной с Землей, изображена на рисунке 186, б. Определите:

a) скорость движения светового импульса в системе отсчета, связанной с Землей;

б) модуль скорости платформы в этой системе отсчета;

в) время, за которое световой импульс в системе отсчета, связанной с Землей, снова придет к источнику.

Расстояние между источником и зеркалом в обеих системах отсчета одно и то же.

Рис. 186

Дано:

Время движения светового импульса в системе отсчета, связанной с платформой: $t_0$

Скорость света в вакууме: $c$

Скорость платформы относительно Земли: $v_0$

Найти:

а) $v_{света}$ - скорость движения светового импульса в системе отсчета, связанной с Землей

б) $v_0$ - модуль скорости платформы

в) $t$ - время движения светового импульса в системе отсчета, связанной с Землей

Решение:

а) скорость движения светового импульса в системе отсчета, связанной с Землей;

Согласно второму постулату специальной теории относительности (принципу постоянства скорости света), скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя. Система отсчета, связанная с Землей, является инерциальной. Следовательно, скорость светового импульса в этой системе отсчета равна скорости света $c$.

Ответ: $c$.

б) модуль скорости платформы в этой системе отсчета;

Рассмотрим движение светового импульса в системе отсчета, связанной с Землей (рис. 186, б). Скорость света $\vec{c}$ в этой системе можно разложить на две составляющие: горизонтальную, равную скорости движения платформы $v_0$, и вертикальную $c_y$. Таким образом, вектор скорости света является гипотенузой в прямоугольном треугольнике скоростей, катетами которого являются $v_0$ и $c_y$.

Из рисунка 186, б, снабженного сеткой, можно определить соотношение между горизонтальным и вертикальным перемещениями светового импульса за время его движения от источника до зеркала. Пусть одна клетка сетки соответствует некоторому расстоянию $a$. Тогда вертикальное перемещение (расстояние от источника до зеркала) составляет $L = 4a$, а горизонтальное перемещение платформы за то же время составляет $S_x = 2a$.

Отношение вертикальной и горизонтальной составляющих скорости света равно отношению соответствующих перемещений:

$\frac{c_y}{v_0} = \frac{L}{S_x} = \frac{4a}{2a} = 2$

Отсюда $c_y = 2v_0$.

По теореме Пифагора для вектора скорости света и его составляющих:

$c^2 = v_0^2 + c_y^2$

Подставим выражение для $c_y$:

$c^2 = v_0^2 + (2v_0)^2 = v_0^2 + 4v_0^2 = 5v_0^2$

Отсюда находим модуль скорости платформы $v_0$:

$v_0^2 = \frac{c^2}{5} \implies v_0 = \frac{c}{\sqrt{5}}$

Ответ: $v_0 = \frac{c}{\sqrt{5}}$.

в) время, за которое световой импульс в системе отсчета, связанной с Землей, снова придет к источнику.

Обозначим через $t$ искомое время в системе отсчета, связанной с Землей. Время, за которое свет доходит от источника до зеркала, равно $t/2$.

За это время свет проходит расстояние (гипотенузу) $d = c \cdot \frac{t}{2}$. Горизонтальное смещение платформы составляет $S_x = v_0 \cdot \frac{t}{2}$. Вертикальное расстояние от источника до зеркала равно $L$.

Для прямоугольного треугольника, образованного этими перемещениями, справедлива теорема Пифагора:

$d^2 = S_x^2 + L^2$

$(c \frac{t}{2})^2 = (v_0 \frac{t}{2})^2 + L^2$

В системе отсчета, связанной с платформой, свет проходит расстояние $2L$ (туда и обратно) за время $t_0$. Таким образом, $2L = c \cdot t_0$, откуда $L = \frac{c t_0}{2}$.

Подставим это выражение для $L$ в уравнение Пифагора:

$(c \frac{t}{2})^2 = (v_0 \frac{t}{2})^2 + (\frac{c t_0}{2})^2$

Раскроем скобки и сократим на $(1/2)^2$:

$c^2 t^2 = v_0^2 t^2 + c^2 t_0^2$

Сгруппируем члены с $t^2$:

$t^2(c^2 - v_0^2) = c^2 t_0^2$

$t^2 = \frac{c^2 t_0^2}{c^2 - v_0^2} = \frac{t_0^2}{1 - v_0^2/c^2}$

Из пункта б) мы знаем, что $v_0^2 = \frac{c^2}{5}$. Подставим это значение в формулу для $t^2$:

$t^2 = \frac{t_0^2}{1 - (c^2/5)/c^2} = \frac{t_0^2}{1 - 1/5} = \frac{t_0^2}{4/5} = \frac{5t_0^2}{4}$

Извлекая квадратный корень, находим время $t$:

$t = \sqrt{\frac{5t_0^2}{4}} = \frac{t_0\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $t = \frac{t_0\sqrt{5}}{2}$.