Номер 685, страница 204 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

685. *Определите модуль скорости, с которой должна двигаться ракета, чтобы ее длина относительно неподвижного наблюдателя, находящегося на Земле, уменьшилась на $\alpha = 20 \%$.

Дано:

Относительное уменьшение длины $\alpha = 20 \% = 0.2$

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$v$ — модуль скорости ракеты.

Решение:

Это явление описывается в специальной теории относительности и называется лоренцевым сокращением длины. Длина $L$ движущегося объекта связана с его собственной длиной $L_0$ (длиной в системе отсчета, где объект покоится) следующим соотношением:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $v$ — скорость объекта, а $c$ — скорость света.

По условию задачи, длина ракеты для наблюдателя на Земле уменьшилась на $\alpha = 20\%$. Это означает, что наблюдаемая длина $L$ составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от собственной длины $L_0$.

Математически это можно записать так:

$L = L_0 - 0.2 L_0 = 0.8 L_0$

Теперь приравняем два выражения для $L$:

$L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 0.8 L_0$

Разделим обе части уравнения на $L_0$ (так как $L_0 \ne 0$):

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 0.8$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = 0.8^2$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = 0.64$

Выразим из этого уравнения $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.64$

$\frac{v^2}{c^2} = 0.36$

Теперь выразим $v$:

$v^2 = 0.36 c^2$

$v = \sqrt{0.36 c^2} = 0.6 c$

Подставим числовое значение скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v = 0.6 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 1.8 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости, с которой должна двигаться ракета, равен $0.6c$, что составляет $1.8 \cdot 10^8$ м/с.