Номер 689, страница 205 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

689. *Жесткий стержень, у которого собственная длина $l_0 = 85$ см, двигался вдоль своей оси с постоянной скоростью, модуль которой $v_1 = 0.8c$. После перехода к другой постоянной скорости $\vec{v_2}$, направленной вдоль оси стержня, его длина увеличилась на $\Delta l = 17$ см. Определите модуль скорости $v_2$.

Дано:

Собственная длина стержня: $l_0 = 85 \text{ см}$

Начальная скорость стержня: $v_1 = 0.8c$

Увеличение длины стержня: $\Delta l = 17 \text{ см}$

$c$ - скорость света в вакууме

$l_0 = 0.85 \text{ м}$
$\Delta l = 0.17 \text{ м}$

Найти:

$v_2$ - ?

Решение:

Длина движущегося объекта в специальной теории относительности сокращается в направлении движения. Это явление называется Лоренцевым сокращением и описывается формулой:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $l_0$ — собственная длина объекта (в его системе покоя), $l$ — длина объекта, измеряемая в системе отсчета, относительно которой он движется со скоростью $v$.

1. Сначала определим длину стержня $l_1$, которую измерял наблюдатель, когда стержень двигался со скоростью $v_1 = 0.8c$.

$l_1 = l_0 \sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}} = l_0 \sqrt{1 - \frac{(0.8c)^2}{c^2}} = l_0 \sqrt{1 - 0.64} = l_0 \sqrt{0.36} = 0.6 l_0$

Подставим значение собственной длины $l_0$:

$l_1 = 0.6 \times 85 \text{ см} = 51 \text{ см}$

2. По условию, после изменения скорости, длина стержня увеличилась на $\Delta l = 17 \text{ см}$. Найдем новую длину стержня $l_2$.

$l_2 = l_1 + \Delta l = 51 \text{ см} + 17 \text{ см} = 68 \text{ см}$

3. Теперь, зная новую наблюдаемую длину стержня $l_2$ и его собственную длину $l_0$, мы можем найти новую скорость стержня $v_2$, используя ту же формулу Лоренцева сокращения.

$l_2 = l_0 \sqrt{1 - \frac{v_2^2}{c^2}}$

Чтобы найти $v_2$, выразим ее из формулы:

$\frac{l_2}{l_0} = \sqrt{1 - \frac{v_2^2}{c^2}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{l_2}{l_0})^2 = 1 - \frac{v_2^2}{c^2}$

$\frac{v_2^2}{c^2} = 1 - (\frac{l_2}{l_0})^2$

$v_2 = c \sqrt{1 - (\frac{l_2}{l_0})^2}$

Подставим числовые значения:

$v_2 = c \sqrt{1 - (\frac{68 \text{ см}}{85 \text{ см}})^2}$

Упростим дробь: $\frac{68}{85} = \frac{4 \times 17}{5 \times 17} = \frac{4}{5} = 0.8$.

$v_2 = c \sqrt{1 - (0.8)^2} = c \sqrt{1 - 0.64} = c \sqrt{0.36} = 0.6c$

Ответ: модуль скорости $v_2$ равен $0.6c$.