Номер 686, страница 204 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

686. * Куб, собственная длина ребра которого $l_0$, движется со скоростью $v = 0,80c$. Скорость направлена вдоль одного из ребер куба. Найдите суммарную длину всех ребер куба относительно неподвижной системы координат.

Дано:

Собственная длина ребра куба: $l_0$
Скорость движения куба: $v = 0,80c$, где $c$ – скорость света в вакууме.

Найти:

Суммарную длину всех ребер куба относительно неподвижной системы координат: $L$.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, длина объекта, движущегося с релятивистской скоростью, сокращается в направлении движения. Это явление называется Лоренцевым сокращением. Размеры объекта, перпендикулярные направлению движения, не изменяются.

У куба 12 ребер. Поскольку скорость направлена вдоль одного из ребер, мы можем разделить все ребра на две группы:

1. Ребра, параллельные вектору скорости. Таких ребер 4. Их длина $l$ для неподвижного наблюдателя будет меньше собственной длины $l_0$.
2. Ребра, перпендикулярные вектору скорости. Таких ребер 8. Их длина для неподвижного наблюдателя останется равной $l_0$.

Длина ребер, параллельных направлению движения, определяется по формуле Лоренцева сокращения:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Подставим в формулу значение скорости $v = 0,80c$:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{(0,80c)^2}{c^2}} = l_0 \sqrt{1 - \frac{0,64c^2}{c^2}} = l_0 \sqrt{1 - 0,64} = l_0 \sqrt{0,36} = 0,60 l_0$

Теперь вычислим суммарную длину всех 12 ребер $L$ в неподвижной системе координат. Она равна сумме длин 4 сократившихся ребер и 8 ребер, длина которых не изменилась.

$L = 4 \cdot l + 8 \cdot l_0$

Подставим найденное значение $l$:

$L = 4 \cdot (0,60 l_0) + 8 \cdot l_0 = 2,4 l_0 + 8 l_0 = 10,4 l_0$

Ответ: $10,4 l_0$.