Номер 692, страница 205 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

692. *В космическом корабле, движущемся со скоростью, модуль которой $v_1 = 0,8c$, находятся такие же часы, как и на Земле. На сколько меньше изменятся показания часов на корабле, чем на Земле, если по показаниям часов на Земле пройдет $t = 10$ мин?

Дано:

Скорость космического корабля, $v_1 = 0,8c$

Промежуток времени на Земле, $t = 10 \text{ мин}$

Скорость света, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$t = 10 \text{ мин} = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$

Найти:

Разницу в показаниях часов, $\Delta t = t - t_0$

Решение:

Это задача на применение эффекта релятивистского замедления времени из специальной теории относительности. Согласно этой теории, для наблюдателя в неподвижной системе отсчета (на Земле) время в движущейся системе отсчета (на космическом корабле) течет медленнее.

Связь между промежутком времени $t_0$, прошедшим в движущейся системе отсчета, и промежутком времени $t$, прошедшим в неподвижной системе отсчета, описывается формулой:

$t_0 = t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $t_0$ – время на корабле, $t$ – время на Земле, $v$ – скорость корабля, $c$ – скорость света.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу, чтобы найти, какой промежуток времени пройдет на часах в корабле:

$t_0 = 10 \text{ мин} \cdot \sqrt{1 - \frac{(0,8c)^2}{c^2}} = 10 \text{ мин} \cdot \sqrt{1 - \frac{0,64c^2}{c^2}}$

Сократив $c^2$, получим:

$t_0 = 10 \text{ мин} \cdot \sqrt{1 - 0,64} = 10 \text{ мин} \cdot \sqrt{0,36} = 10 \text{ мин} \cdot 0,6 = 6 \text{ мин}$

Таким образом, когда на Земле пройдет 10 минут, на борту космического корабля пройдет 6 минут.

Чтобы найти, на сколько меньше изменятся показания часов на корабле по сравнению с земными, нужно найти разницу между этими промежутками времени:

$\Delta t = t - t_0 = 10 \text{ мин} - 6 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$

Ответ: показания часов на корабле изменятся на 4 минуты меньше, чем на Земле.