Номер 697, страница 206 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

697. *Точность определения координат с помощью глобальной системы позиционирования (GPS) зависит от точности определения координат навигационных спутников и точности часов, установленных на них. Навигационный спутник движется относительно Земли со скоростью $v=3,90 \frac{\text{км}}{\text{с}}$, следовательно, скорость течения времени на Земле и на спутнике разная. За какое время на спутниковых часах относительно земных часов набегает ошибка, равная времени, за которое свет проходит расстояние $l = 3,00 \text{ м}$?

Примечания.

А) Гравитационное поле на орбите спутника слабее, чем на поверхности Земли. Согласно общей (а не специальной) теории относительности, на орбите спутника по этой причине должно произойти ускорение хода часов примерно в 7 раз большее, чем замедление из-за движения спутника. По-этому, несмотря на то, что в задаче получается замедление хода спутниковых часов, на практике часы на спутнике идут быстрее, чем на Земле.

Б) Формула приближенного вычисления: если $a \ll 1$, то $\sqrt{1 \pm a} = 1 \pm \frac{a}{2}$.

Дано:

Скорость спутника, $v = 3,90 \frac{км}{с}$

Расстояние, $l = 3,00 \text{ м}$

Скорость света в вакууме, $c = 3,00 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

В системе СИ:

$v = 3,90 \cdot 10^3 \frac{м}{с}$

Найти:

$\Delta t_0$ - время по спутниковым часам, за которое накопится заданная ошибка.

Решение:

Согласно специальной теории относительности (СТО), время в движущейся системе отсчета течет медленнее, чем в покоящейся. Это явление называется релятивистским замедлением времени. Промежуток времени $\Delta t$, измеренный по часам на Земле, и промежуток времени $\Delta t_0$, измеренный по часам на движущемся спутнике (собственное время), связаны соотношением:

$\Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Разница во времени (ошибка), которая накапливается за время $\Delta t_0$ на спутнике, равна:

$\delta t = \Delta t - \Delta t_0 = \Delta t_0 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right)$

По условию задачи, эта ошибка равна времени, за которое свет проходит расстояние $l$:

$\delta t = \frac{l}{c}$

Поскольку скорость спутника $v$ значительно меньше скорости света $c$ ($v \ll c$), выражение в скобках можно упростить, используя приближение для малых $x=\frac{v^2}{c^2}$ (которое следует из разложения в ряд Тейлора и согласуется с примечанием в задаче):

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = (1-x)^{-1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x$

Подставляя $x = \frac{v^2}{c^2}$, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}$

Теперь подставим это приближение в формулу для ошибки $\delta t$:

$\delta t \approx \Delta t_0 \left( \left(1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2}\right) - 1 \right) = \Delta t_0 \frac{v^2}{2c^2}$

Приравнивая два выражения для $\delta t$, получаем уравнение для нахождения $\Delta t_0$:

$\frac{l}{c} = \Delta t_0 \frac{v^2}{2c^2}$

Выразим отсюда искомое время $\Delta t_0$:

$\Delta t_0 = \frac{l}{c} \cdot \frac{2c^2}{v^2} = \frac{2lc}{v^2}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$\Delta t_0 = \frac{2 \cdot 3,00 \text{ м} \cdot 3,00 \cdot 10^8 \frac{м}{с}}{(3,90 \cdot 10^3 \frac{м}{с})^2} = \frac{18,0 \cdot 10^8}{15,21 \cdot 10^6} \text{ с} \approx 1,1834 \cdot 10^2 \text{ с}$

Округлим результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных:

$\Delta t_0 \approx 118 \text{ с}$

Следует отметить, что данное решение учитывает только эффект замедления времени согласно СТО. В реальных условиях на спутниках GPS необходимо также учитывать эффект общей теории относительности (ускорение времени из-за более слабого гравитационного поля), который вносит больший вклад и приводит к тому, что часы на спутнике идут быстрее, чем на Земле.

Ответ: $118 \text{ с}$.