Номер 693, страница 206 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

693. *Космический корабль движется со скоростью, модуль которой $v = 0,8c$ относительно Земли. Какой путь пролетит этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей, если по часам, находящимся в корабле, пройдет время $t_0 = 0,5$ с?

Дано:

$v = 0,8c$
$t_0 = 0,5 \text{ с}$
$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

$v = 0,8 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 2,4 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

$L$ - ?

Решение:

Для определения пути, пройденного космическим кораблем в системе отсчета, связанной с Землей, необходимо использовать скорость корабля $v$ и время полета $t$ в этой же системе отсчета. Время $t_0$, измеренное по часам на корабле (в движущейся системе отсчета), называется собственным временем. Время $t$, измеренное в системе отсчета Земли (в неподвижной системе отсчета), связано с собственным временем $t_0$ формулой замедления времени из специальной теории относительности:

$t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $v$ - скорость корабля, $c$ - скорость света.

Путь $L$, который пролетит корабль в системе отсчета, связанной с Землей, вычисляется по формуле:

$L = v \cdot t$

Подставим выражение для времени $t$ в формулу для пути:

$L = v \cdot \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Выполним вычисления. Сначала найдем знаменатель дроби:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{(0,8c)^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{0,64c^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь подставим все известные значения в формулу для пути $L$:

$L = 0,8c \cdot \frac{0,5 \text{ с}}{0,6} = \frac{0,4c}{0,6} \text{ с} = \frac{2}{3}c \cdot \text{с}$

Подставим числовое значение скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$:

$L = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot \text{с} = 2 \cdot 10^8 \text{ м}$

Ответ: $L = 2 \cdot 10^8$ м.