Номер 699, страница 207 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

699. *Лазерный луч, отраженный от вращающегося зеркала, находящегося на Земле, попадает на поверхность Луны. Расстояние от Земли до Луны $L = 384000 \text{ км}$. Определите скорость движения светового пятна по поверхности Луны, если частота вращения зеркала $v = 1 \frac{\text{об}}{\text{с}}$. Поясните, не противоречит ли полученный результат постулату специальной теории относительности.

Дано:

Расстояние от Земли до Луны, $L = 384000 \text{ км}$
Частота вращения зеркала, $\nu = 1 \frac{\text{об}}{\text{с}}$

$L = 384000 \cdot 10^3 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$
$\nu = 1 \text{ с}^{-1} = 1 \text{ Гц}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v$ — скорость движения светового пятна по поверхности Луны.
Пояснить, не противоречит ли полученный результат постулату специальной теории относительности.

Решение

Определите скорость движения светового пятна по поверхности Луны

Согласно закону отражения света, при повороте зеркала на угол $\alpha$, отраженный от него луч поворачивается на удвоенный угол $2\alpha$. Это означает, что угловая скорость вращения отраженного луча $\omega_{луч}$ в два раза превышает угловую скорость вращения самого зеркала $\omega_{зерк}$:

$\omega_{луч} = 2 \cdot \omega_{зерк}$

Угловая скорость вращения зеркала $\omega_{зерк}$ связана с его частотой вращения $\nu$ формулой:

$\omega_{зерк} = 2 \pi \nu$

Подставив данные из условия, получим:

$\omega_{зерк} = 2 \pi \cdot 1 \text{ Гц} = 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Следовательно, угловая скорость отраженного лазерного луча составляет:

$\omega_{луч} = 2 \cdot 2\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}} = 4\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Световое пятно на Луне перемещается по дуге окружности, радиусом которой является расстояние от Земли до Луны $L$. Линейная скорость $v$ движения этого пятна определяется как произведение угловой скорости луча на радиус:

$v = \omega_{луч} \cdot L$

Выполним расчет:

$v = 4\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м} \approx 4 \cdot 3.1416 \cdot 3.84 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 4.83 \cdot 10^9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Скорость движения светового пятна по поверхности Луны составляет примерно $4.83 \cdot 10^9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Поясните, не противоречит ли полученный результат постулату специальной теории относительности

Рассчитанная скорость светового пятна ($v \approx 4.83 \cdot 10^9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$) значительно превышает скорость света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$). Однако этот результат не противоречит специальной теории относительности (СТО).

Основной постулат СТО гласит, что ни один материальный объект или сигнал, переносящий информацию, не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света. Ключевым моментом здесь является то, что движущееся световое пятно не является ни материальным объектом, ни информационным сигналом, который перемещается от одной точки лунной поверхности к другой.

Пятно — это место, куда в данный момент времени попадают фотоны, испущенные лазером и отраженные от зеркала на Земле. Каждый фотон по отдельности движется от Земли к Луне со скоростью света $c$. "Движение" пятна — это лишь последовательное освещение разных участков поверхности Луны разными, независимыми друг от друга фотонами.

Такое сверхсветовое движение является геометрическим или фазовым эффектом. Например, если быстро провести лучом фонарика по далекой стене, скорость пятна на стене может быть очень большой. С помощью такого пятна нельзя передать информацию от одной точки стены к другой быстрее света, так как все управление движением пятна происходит из точки, где находится фонарик, и любой сигнал оттуда распространяется со скоростью, не превышающей $c$.

Таким образом, причинно-следственная связь не нарушается, и кажущееся сверхсветовое движение не создает парадоксов и не противоречит фундаментальным принципам физики.

Ответ: Полученный результат не противоречит постулату специальной теории относительности. Сверхсветовая скорость светового пятна является скоростью перемещения не физического объекта или сигнала, а геометрического места, освещаемого лазером. Передача информации между точками на Луне с помощью этого пятна со сверхсветовой скоростью невозможна.