Номер 706, страница 208 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

706. *Модуль импульса электрона $p=2{,}0 \cdot 10^{-22} \frac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}}$. Опре-

делите модуль скорости движения электрона.

Дано

Модуль импульса электрона $p = 2,0 \cdot 10^{-22} \frac{кг \cdot м}{с}$

Масса покоя электрона $m_0 = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг (справочное значение)

Скорость света в вакууме $c = 3,0 \cdot 10^8$ м/с (справочное значение)

Найти:

$v$ - модуль скорости движения электрона.

Решение

Поскольку скорость электрона может быть сопоставима со скоростью света, необходимо использовать формулу релятивистского импульса:

$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $m_0$ — масса покоя электрона, $v$ — его скорость, $c$ — скорость света в вакууме.

Выразим скорость $v$ из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$p^2 = \frac{m_0^2 v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Умножим обе части на $(1 - \frac{v^2}{c^2})$:

$p^2(1 - \frac{v^2}{c^2}) = m_0^2 v^2$

Раскроем скобки:

$p^2 - \frac{p^2 v^2}{c^2} = m_0^2 v^2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v^2$:

$p^2 = m_0^2 v^2 + \frac{p^2 v^2}{c^2}$

Вынесем $v^2$ за скобки:

$p^2 = v^2 (m_0^2 + \frac{p^2}{c^2})$

Отсюда выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{p^2}{m_0^2 + \frac{p^2}{c^2}}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $v$:

$v = \frac{p}{\sqrt{m_0^2 + \frac{p^2}{c^2}}}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{(9,1 \cdot 10^{-31})^2 + \frac{(2,0 \cdot 10^{-22})^2}{(3,0 \cdot 10^8)^2}}} = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{82,81 \cdot 10^{-62} + \frac{4,0 \cdot 10^{-44}}{9,0 \cdot 10^{16}}}} = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{8,281 \cdot 10^{-61} + 0,444 \cdot 10^{-60}}}$

$v = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{8,281 \cdot 10^{-61} + 4,44 \cdot 10^{-61}}} = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{(8,281 + 4,44) \cdot 10^{-61}}} = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{12,721 \cdot 10^{-61}}}$

$v = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{\sqrt{1,2721 \cdot 10^{-60}}} = \frac{2,0 \cdot 10^{-22}}{1,128 \cdot 10^{-30}} \approx 1,77 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в условии задачи:

$v \approx 1,8 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

Ответ: модуль скорости движения электрона равен примерно $1,8 \cdot 10^8$ м/с.