Номер 707, страница 208 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

707. *В движущейся относительно Земли ракете массой $m = 2,0 \text{ т}$ в одной точке произошли два события. Промежуток времени между этими событиями, измеренный по земным часам, $t = 55 \text{ мин}$, а по часам, расположенным в ракете, $t_0 = 33 \text{ мин}$. Определите модуль импульса ракеты.

Дано:

$m = 2,0 \text{ т} = 2,0 \times 10^3 \text{ кг}$

$t = 55 \text{ мин}$

$t_0 = 33 \text{ мин}$

$c = 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

$p$

Решение:

Данная задача решается с использованием понятий специальной теории относительности.

Промежуток времени $t_0$, измеренный по часам в движущейся системе отсчета (в ракете), называется собственным временем. Промежуток времени $t$, измеренный по часам в неподвижной системе отсчета (на Земле), связан с собственным временем формулой релятивистского замедления времени:

$t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $v$ — скорость ракеты относительно Земли, $c$ — скорость света в вакууме.

Модуль релятивистского импульса ракеты определяется выражением:

$p = \frac{m v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Из формулы замедления времени можно выразить релятивистский множитель:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{t_0}{t}$

Подставим числовые значения, чтобы найти этот множитель. Обратите внимание, что единицы измерения времени (минуты) сокращаются, поэтому их можно не переводить в секунды.

$\frac{t_0}{t} = \frac{33 \text{ мин}}{55 \text{ мин}} = \frac{3}{5} = 0,6$

Теперь найдем скорость ракеты $v$. Для этого возведем в квадрат полученное соотношение:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = (\frac{t_0}{t})^2 = 0,6^2 = 0,36$

Отсюда выразим $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0,36 = 0,64$

Тогда скорость ракеты равна:

$v = \sqrt{0,64 c^2} = 0,8 c$

Теперь мы можем вычислить модуль импульса ракеты, подставив известные величины в формулу для релятивистского импульса:

$p = \frac{m v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{m \cdot (0,8 c)}{\frac{t_0}{t}}$

Подставим числовые значения:

$p = \frac{(2,0 \times 10^3 \text{ кг}) \cdot (0,8 \cdot 3 \times 10^8 \text{ м/с})}{0,6}$

$p = \frac{2,0 \times 10^3 \text{ кг} \cdot 2,4 \times 10^8 \text{ м/с}}{0,6}$

$p = \frac{4,8 \times 10^{11}}{0,6} \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 8,0 \times 10^{11} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: модуль импульса ракеты равен $8,0 \times 10^{11} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.