Номер 708, страница 209 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

708. *Пучок электронов, движущихся со скоростью $v=\frac{2}{3}c$, сталкивается с заземленной медной фольгой и вызывает в ней ток $I=10 \text{ мА}$. Определите модуль силы, с которой электроны действуют на фольгу вследствие своего торможения.

Дано:

$v = \frac{2}{3}c$

$I = 10 \text{ мА}$

$I = 10 \cdot 10^{-3} \text{ А} = 0.01 \text{ А}$

Найти:

$F - ?$

Решение:

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой электроны действуют на фольгу, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой фольга действует на электроны, тормозя их. Эту тормозящую силу можно найти из второго закона Ньютона в импульсной форме:

$F = \frac{\Delta P}{\Delta t}$

где $\Delta P$ — полное изменение импульса всех электронов, остановившихся в фольге за время $\Delta t$.

Сила тока $I$ определяется как заряд $\Delta Q$, прошедший через поперечное сечение проводника за время $\Delta t$:

$I = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$

Заряд $\Delta Q$ равен произведению числа электронов $N$, столкнувшихся с фольгой, на элементарный заряд $e$:

$\Delta Q = N \cdot e$

Тогда число электронов, попадающих на фольгу в единицу времени, равно:

$\frac{N}{\Delta t} = \frac{I}{e}$

Скорость электронов $v = \frac{2}{3}c$ является релятивистской, поэтому для нахождения импульса одного электрона необходимо использовать релятивистскую формулу:

$p = \gamma m_e v$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца, а $m_e$ — масса покоя электрона.

Электроны полностью тормозятся в фольге, поэтому их конечный импульс равен нулю. Изменение импульса одного электрона равно его начальному импульсу: $\Delta p = 0 - p = -p$. По модулю $|\Delta p| = p = \gamma m_e v$.

Полное изменение импульса $N$ электронов за время $\Delta t$ составит:

$\Delta P = N \cdot |\Delta p| = N \cdot \gamma m_e v$

Подставим это выражение в формулу для силы:

$F = \frac{N \cdot \gamma m_e v}{\Delta t} = \left(\frac{N}{\Delta t}\right) \gamma m_e v$

Заменив $\frac{N}{\Delta t}$ на $\frac{I}{e}$, получим:

$F = \frac{I}{e} \gamma m_e v$

Вычислим фактор Лоренца $\gamma$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2}{3}c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Подставим все значения в формулу для силы. Используем справочные значения для массы электрона $m_e \approx 9.1 \cdot 10^{-31}$ кг, элементарного заряда $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл и скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.

$F = \frac{I}{e} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot m_e \cdot \frac{2}{3}c = \frac{2 I m_e c}{e \sqrt{5}}$

$F = \frac{2 \cdot 0.01 \text{ А} \cdot 9.1 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot \sqrt{5}} \approx \frac{5.46 \cdot 10^{-24}}{1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 2.236} \approx \frac{5.46 \cdot 10^{-24}}{3.578 \cdot 10^{-19}} \approx 1.526 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$

Ответ: $F \approx 1.53 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$ или $15.3 \text{ мкН}$.