Номер 711, страница 209 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

711. Воду массой $m = 100\ \text{кг}$ нагрели в бойлере от температуры $t_1 = 4\ ^\circ\text{C}$ до температуры $t_2 = 94\ ^\circ\text{C}$. Определите изменение массы воды, обусловленное изменением внутренней энергии воды. Удельная теплоемкость воды $c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}$.

Дано:

$m = 100$ кг

$t_1 = 4$ °C

$t_2 = 94$ °C

$c_{воды} = 4,2 \frac{кДж}{кг \cdot °C}$

Перевод в систему СИ:

$c_{воды} = 4,2 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot °C} = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Найти:

$\Delta m$ - ?

Решение:

При нагревании воды ее внутренняя энергия увеличивается. Количество теплоты, полученное водой, которое идет на увеличение ее внутренней энергии $\Delta U$, можно рассчитать по формуле:

$\Delta U = Q = c_{воды} \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

где $c_{воды}$ - удельная теплоемкость воды, $m$ - масса воды, $(t_2 - t_1)$ - изменение температуры.

Подставим известные значения в формулу:

$\Delta U = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 100 \text{ кг} \cdot (94 \text{ °C} - 4 \text{ °C}) = 4200 \cdot 100 \cdot 90 = 37 800 000 \text{ Дж} = 3,78 \cdot 10^7 \text{ Дж}$

Согласно специальной теории относительности, изменение энергии тела $(\Delta E)$ связано с изменением его массы $(\Delta m)$ знаменитым соотношением Эйнштейна. В нашем случае изменение энергии равно изменению внутренней энергии, $\Delta E = \Delta U$.

$\Delta U = \Delta m \cdot c^2$

где $\Delta m$ - искомое изменение массы, а $c$ - скорость света в вакууме ($c \approx 3 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$).

Выразим из этой формулы изменение массы:

$\Delta m = \frac{\Delta U}{c^2}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\Delta m = \frac{3,78 \cdot 10^7 \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \frac{м}{с})^2} = \frac{3,78 \cdot 10^7}{9 \cdot 10^{16}} \text{ кг} = 0,42 \cdot 10^{-9} \text{ кг} = 4,2 \cdot 10^{-10} \text{ кг}$

Таким образом, при нагревании масса воды увеличится на очень малую величину.

Ответ: изменение массы воды составляет $4,2 \cdot 10^{-10}$ кг.