Номер 696, страница 206 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

696. *В ракете, летящей относительно Земли, со скоростью, модуль которой $v=0,6c$, перпендикулярно направлению полета ракеты движется ион со скоростью, модуль которой относительно ракеты $v_1=50 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. В системе отсчета, связанной с Землей, определите модуль скорости иона в направлении, перпендикулярном направлению движения ракеты.

Дано

Скорость ракеты относительно Земли: $v = 0.6c$

Скорость иона относительно ракеты (перпендикулярно движению ракеты): $v_1 = 50 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Скорость света: $c$

Найти:

Модуль скорости иона в системе отсчета, связанной с Землей, в направлении, перпендикулярном направлению движения ракеты - $u_{\perp}$

Решение

В этой задаче мы имеем дело с релятивистским сложением скоростей. Свяжем инерциальную систему отсчета $K$ с Землей, а подвижную инерциальную систему отсчета $K'$ – с ракетой. Система $K'$ движется относительно $K$ со скоростью $v=0.6c$ вдоль оси $OX$.

Скорость иона в системе отсчета ракеты $K'$ направлена перпендикулярно направлению полета ракеты. Это означает, что проекция скорости иона на ось движения (ось $O'X'$) равна нулю, а проекция на перпендикулярную ось (ось $O'Y'$) равна модулю скорости иона относительно ракеты.

Обозначим скорость иона в системе $K'$ как $\vec{u'}$. Ее компоненты:

$u'_x = 0$

$u'_y = v_1 = 50 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Нам необходимо найти компоненту скорости иона в системе отсчета Земли $K$, которая перпендикулярна направлению движения ракеты, то есть $u_y$. Для этого воспользуемся релятивистскими формулами преобразования скоростей:

$u_y = \frac{u'_y \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 + \frac{v u'_x}{c^2}}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$u_y = \frac{50 \, \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \sqrt{1 - \frac{(0.6c)^2}{c^2}}}{1 + \frac{0.6c \cdot 0}{c^2}}$

Выполним вычисления:

$u_y = \frac{50 \cdot \sqrt{1 - 0.36 \frac{c^2}{c^2}}}{1 + 0}$

$u_y = 50 \cdot \sqrt{1 - 0.36}$

$u_y = 50 \cdot \sqrt{0.64}$

$u_y = 50 \cdot 0.8$

$u_y = 40 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Таким образом, модуль скорости иона в направлении, перпендикулярном направлению движения ракеты, в системе отсчета, связанной с Землей, уменьшается из-за релятивистского эффекта замедления времени.

Ответ: $40 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$.