Номер 690, страница 205 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

690. *Одна из нестабильных частиц покоится, а вторая такая же частица движется относительно Земли со скоростью, модуль которой $v=1,80 \cdot 10^8 \frac{\text{М}}{\text{с}}$. Определите, во сколько раз по земным часам среднее время жизни второй частицы больше, чем первой.

Дано:

Скорость второй частицы относительно Земли, $v = 1,80 \cdot 10^8$ м/с.

Скорость света в вакууме, $c \approx 3,00 \cdot 10^8$ м/с (константа).

Найти:

Отношение среднего времени жизни второй частицы по земным часам $(\tau)$ к среднему времени жизни первой частицы $(\tau_0)$: $\frac{\tau}{\tau_0}$ - ?

Решение:

Эта задача относится к разделу специальной теории относительности и описывается эффектом релятивистского замедления времени. Время жизни частицы в системе отсчета, где она покоится, называется собственным временем жизни $(\tau_0)$.

Первая частица покоится относительно Земли, поэтому ее среднее время жизни, измеренное наблюдателем на Земле, равно ее собственному времени жизни, то есть $\tau_1 = \tau_0$.

Вторая частица движется относительно Земли со скоростью $v$. Для земного наблюдателя время идет медленнее в системе отсчета, связанной с движущейся частицей. Поэтому измеренное на Земле среднее время жизни второй частицы $(\tau_2 = \tau)$ будет больше ее собственного времени жизни. Эта связь описывается формулой:

$\tau = \frac{\tau_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $v$ — скорость частицы относительно наблюдателя, а $c$ — скорость света в вакууме.

Чтобы определить, во сколько раз среднее время жизни второй частицы больше, чем первой, нужно найти отношение $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{\tau}{\tau_0}$.

Из формулы замедления времени выразим это отношение:

$\frac{\tau}{\tau_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Рассчитаем отношение скорости частицы к скорости света:

$\frac{v}{c} = \frac{1,80 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 0,6$

Теперь подставим это значение в формулу:

$\frac{\tau}{\tau_0} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,6)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25$

Таким образом, по земным часам среднее время жизни второй, движущейся, частицы в 1,25 раза больше, чем первой, покоящейся.

Ответ: среднее время жизни второй частицы по земным часам больше, чем первой, в 1,25 раза.