Номер 691, страница 205 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

691. *Собственное время жизни $\pi$-мезона $t_0 = 26 \text{ нс}$. Определите время жизни этой частицы, измеренное по земным часам, если частица движется относительно Земли со скоростью, модуль которой $v=2,7 \cdot 10^8 \frac{\text{М}}{\text{с}}$.

Дано:
Собственное время жизни π-мезона, $t_0 = 26$ нс
Скорость π-мезона, $v = 2,7 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$t_0 = 26 \text{ нс} = 26 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Найти:
Время жизни частицы, измеренное по земным часам, $t$

Решение:

Это задача на релятивистское замедление времени из специальной теории относительности. Время, измеренное в системе отсчета, относительно которой объект движется (в данном случае, Земля), больше, чем собственное время, измеренное в системе отсчета, связанной с самим объектом (π-мезоном).

Формула для замедления времени выглядит следующим образом:

$t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $t$ — время жизни частицы по земным часам, $t_0$ — собственное время жизни частицы, $v$ — скорость частицы, $c$ — скорость света.

Рассчитаем отношение скорости частицы к скорости света:

$\frac{v}{c} = \frac{2,7 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}}{3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}} = 0,9$

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$t = \frac{26 \cdot 10^{-9} \text{ с}}{\sqrt{1 - (0,9)^2}} = \frac{26 \cdot 10^{-9} \text{ с}}{\sqrt{1 - 0,81}} = \frac{26 \cdot 10^{-9} \text{ с}}{\sqrt{0,19}}$

Вычислим значение корня и найдем $t$:

$\sqrt{0,19} \approx 0,4359$

$t \approx \frac{26 \cdot 10^{-9} \text{ с}}{0,4359} \approx 59,6467 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), получаем:

$t \approx 60 \cdot 10^{-9} \text{ с} = 60 \text{ нс}$

Ответ: время жизни этой частицы, измеренное по земным часам, составляет примерно 60 нс.