Номер 687, страница 204 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

687. *Длина стороны квадрата на репродукции картины Малевича «Черный квадрат» $a = 50$ см. Определите, какой станет площадь этого квадрата в системе отсчета, связанной с Землей, если картина будет находиться в ракете, движущейся относительно Земли со скоростью, модуль которой $v = 0,80c$. Считайте, что две стороны квадрата параллельны направлению движения ракеты.

Дано:

$a = 50 \text{ см}$

$v = 0,80c$

Перевод в систему СИ:

$a = 0,50 \text{ м}$

Найти:

$S' - ?$

Решение:

В системе отсчета, связанной с ракетой (собственной системе отсчета), картина представляет собой квадрат со стороной $a$.

Согласно специальной теории относительности, при движении объекта с релятивистской скоростью его размеры, параллельные направлению движения, сокращаются для неподвижного наблюдателя. Размеры, перпендикулярные направлению движения, при этом не изменяются.

В данной задаче две стороны квадрата параллельны направлению движения ракеты, а две другие — перпендикулярны.

Длина сторон, перпендикулярных движению, в системе отсчета, связанной с Землей, останется прежней:

$a_{\perp} = a = 0,50 \text{ м}$.

Длина сторон, параллельных направлению движения, для наблюдателя на Земле сократится в соответствии с формулой Лоренцева сокращения:

$a_{\parallel} = a \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $v$ — скорость ракеты, $c$ — скорость света в вакууме.

Подставим данные в формулу:

$a_{\parallel} = 0,50 \cdot \sqrt{1 - \frac{(0,80c)^2}{c^2}} = 0,50 \cdot \sqrt{1 - \frac{0,64c^2}{c^2}} = 0,50 \cdot \sqrt{1 - 0,64} = 0,50 \cdot \sqrt{0,36} = 0,50 \cdot 0,6 = 0,30 \text{ м}$.

Таким образом, для наблюдателя на Земле квадрат будет выглядеть как прямоугольник со сторонами $a_{\parallel} = 0,30 \text{ м}$ и $a_{\perp} = 0,50 \text{ м}$.

Площадь этого прямоугольника $S'$ в системе отсчета, связанной с Землей, равна:

$S' = a_{\parallel} \cdot a_{\perp}$

$S' = 0,30 \text{ м} \cdot 0,50 \text{ м} = 0,15 \text{ м}^2$.

Ответ: $S' = 0,15 \text{ м}^2$.