Номер 681, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

681. *Центр медленно вращающегося жесткого стержня равномерно движется с релятивистской скоростью в неподвижной системе отсчета $Oxyz$. Скорость центра направлена вдоль оси $Ox$. Сначала стержень был параллелен оси $Oy$, затем он стал параллелен оси $Ox$, после этого ось стержня направили вдоль оси $Oz$. Как во время поворота изменялась длина стержня в системе отсчета $Oxyz$? Укажите характер изменения размеров стержня в виде последовательности цифр: 1) увеличение; 2) уменьшение; 3) постоянство.

Дано:

Стержень с собственной длиной $L_0$.
Неподвижная система отсчета $Oxyz$.
Скорость центра стержня $\vec{v}$ направлена вдоль оси $Ox$.
Величина скорости $v$ является релятивистской ($v \sim c$).
Первый поворот: ориентация стержня меняется с параллельной оси $Oy$ на параллельную оси $Ox$.
Второй поворот: ориентация стержня меняется с параллельной оси $Ox$ на параллельную оси $Oz$.

Найти:

Последовательность цифр, характеризующую изменение длины стержня в системе $Oxyz$ во время поворотов (1 — увеличение, 2 — уменьшение, 3 — постоянство).

Решение:

В основе решения задачи лежит эффект релятивистского сокращения длины (лоренцево сокращение). Согласно специальной теории относительности, наблюдаемая длина $L$ объекта, имеющего собственную длину $L_0$ и движущегося со скоростью $v$, зависит от угла $\alpha$ между осью объекта и вектором его скорости: $L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}\cos^2\alpha}$ где $c$ — скорость света. Сокращение происходит только для проекции длины на направление движения, в то время как перпендикулярная проекция остается неизменной.

Рассмотрим первый поворот: стержень поворачивается из положения, параллельного оси $Oy$, в положение, параллельное оси $Ox$.

В начальном положении стержень параллелен оси $Oy$, то есть перпендикулярен направлению движения $\vec{v}$. Угол $\alpha$ между стержнем и осью $Ox$ равен $90^\circ$. Его наблюдаемая длина: $L_{1} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}\cos^2(90^\circ)} = L_0 \sqrt{1 - 0} = L_0$.

В конечном положении стержень параллелен оси $Ox$, то есть направлен вдоль вектора скорости. Угол $\alpha = 0^\circ$. Его наблюдаемая длина: $L_{2} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}\cos^2(0^\circ)} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$.

Так как скорость релятивистская ($v>0$), то $L_2 < L_1$. В процессе поворота угол $\alpha$ плавно изменяется от $90^\circ$ до $0^\circ$, $\cos^2\alpha$ возрастает от 0 до 1, и, следовательно, длина $L$ монотонно уменьшается. Это соответствует цифре 2.

Рассмотрим второй поворот: стержень поворачивается из положения, параллельного оси $Ox$, в положение, параллельное оси $Oz$.

В начальном положении стержень параллелен оси $Ox$, его длина $L_2 = L_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}$. Угол $\alpha = 0^\circ$.

В конечном положении стержень параллелен оси $Oz$, то есть снова перпендикулярен направлению движения. Угол $\alpha = 90^\circ$. Его наблюдаемая длина: $L_{3} = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}\cos^2(90^\circ)} = L_0$.

Так как $L_3 > L_2$, длина стержня увеличилась. В процессе поворота угол $\alpha$ плавно изменяется от $0^\circ$ до $90^\circ$, $\cos^2\alpha$ убывает от 1 до 0, и, следовательно, длина $L$ монотонно возрастает. Это соответствует цифре 1.

Таким образом, искомая последовательность цифр, описывающая изменение длины стержня, — 2, а затем 1.

Ответ: 21.