Номер 682, страница 204 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

682. *Представьте, что метровую линейку поместили в ракету, движущуюся прямолинейно и равномерно относительно Земли со скоростью, близкой к скорости света, и расположили вдоль направления движения ракеты. Поясните, изменились ли длина, площадь поперечного сечения, объем, количество вещества и плотность вещества линейки в системе отсчета, связанной с Землей.

Дано

Собственная длина линейки (длина в системе отсчета, связанной с ракетой): $l_0 = 1$ м.

Скорость ракеты относительно Земли: $v$, где $v$ близка к скорости света $c$.

Собственная площадь поперечного сечения линейки: $S_0$.

Собственный объем линейки: $V_0 = l_0 S_0$.

Масса покоя линейки: $m_0$.

Собственная плотность линейки: $ρ_0 = m_0 / V_0$.

Количество вещества линейки: $ν$.

Найти:

Длину $l$, площадь поперечного сечения $S$, объем $V$, количество вещества $ν'$, плотность $ρ$ в системе отсчета, связанной с Землей.

Решение

Для решения задачи воспользуемся постулатами специальной теории относительности (СТО).

Длина

Согласно СТО, длина объекта, движущегося со скоростью $v$ относительно наблюдателя, сокращается в направлении движения. Это явление называется лоренцевым сокращением длины и описывается формулой:

$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $l_0$ — собственная длина объекта (в его системе покоя), а $l$ — длина, измеряемая наблюдателем. Поскольку ракета движется со скоростью $v > 0$, множитель $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ будет меньше единицы. Следовательно, для наблюдателя на Земле длина линейки станет меньше одного метра.

Ответ: Длина линейки уменьшилась.

Площадь поперечного сечения

Лоренцево сокращение происходит только в направлении движения. Размеры объекта в направлениях, перпендикулярных вектору скорости, не изменяются. Так как поперечное сечение линейки перпендикулярно направлению движения ракеты, его размеры и, соответственно, площадь не изменятся.

$S = S_0$

Ответ: Площадь поперечного сечения не изменилась.

Объем

Объем линейки в системе отсчета, связанной с Землей, равен произведению ее длины на площадь поперечного сечения в этой же системе отсчета:

$V = l \cdot S$

Подставим значения для $l$ и $S$:

$V = (l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}) \cdot S_0 = (l_0 S_0) \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = V_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Поскольку длина уменьшилась, а площадь поперечного сечения не изменилась, объем линейки для наблюдателя на Земле также уменьшится.

Ответ: Объем линейки уменьшился.

Количество вещества

Количество вещества (например, в молях) определяется числом частиц (атомов, молекул) в теле. Число частиц является инвариантной величиной, то есть оно не зависит от системы отсчета. Сколько атомов было в линейке в ракете, столько же их насчитает и наблюдатель на Земле (теоретически).

Ответ: Количество вещества не изменилось.

Плотность вещества

Плотность определяется как отношение массы к объему: $ρ = m/V$. Согласно СТО, масса тела также зависит от скорости:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $m_0$ — масса покоя. Масса тела для наблюдателя на Земле увеличится. Объем, как мы выяснили, уменьшится. Найдем плотность в системе отсчета Земли:

$ρ = \frac{m}{V} = \frac{m_0 / \sqrt{1 - v^2/c^2}}{V_0 \sqrt{1 - v^2/c^2}} = \frac{m_0}{V_0 (1 - \frac{v^2}{c^2})} = \frac{ρ_0}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Поскольку знаменатель $(1 - v^2/c^2)$ меньше единицы, то плотность $ρ$ будет больше собственной плотности $ρ_0$. Плотность увеличится из-за двух факторов: увеличения массы и уменьшения объема.

Ответ: Плотность вещества увеличилась.