Номер 680, страница 203 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

680. *Кольцо радиусом $R$ движется поступательно с релятивистской скоростью вдоль оси $Ox$ (рис. 187). Укажите номер рисунка, на котором показана правильная форма кольца в неподвижной системе отсчета $xOy$.

Рис. 187

Решение

В соответствии с постулатами специальной теории относительности, размеры тела, движущегося с релятивистской скоростью $v$ относительно некоторой инерциальной системы отсчета, оказываются сокращенными в направлении движения. Это явление называется лоренцевым сокращением.

Если $L_0$ — это размер тела в собственной системе отсчета (его собственная длина), то в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью $v$, его размер $L$ в направлении движения будет равен:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $c$ — скорость света в вакууме. Размеры тела в направлениях, перпендикулярных направлению движения, при этом не изменяются.

В данной задаче кольцо радиусом $R$ движется поступательно вдоль оси $Ox$. Это означает, что:

1. Размер кольца в направлении, перпендикулярном движению (вдоль оси $Oy$), не изменится. В системе отсчета кольца его вертикальный диаметр равен $2R$, следовательно, в неподвижной системе отсчета он также будет равен $2R$. Вертикальная полуось фигуры будет равна $R$.
2. Размер кольца в направлении движения (вдоль оси $Ox$) сократится. В системе отсчета кольца его горизонтальный диаметр равен $2R$. В неподвижной системе отсчета он станет равным $L_x = 2R \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Горизонтальная полуось фигуры будет равна $R_x = R \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$.

Поскольку скорость $v$ релятивистская ($0 < v < c$), множитель $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$ будет меньше единицы. Следовательно, $R_x < R$.

Таким образом, в неподвижной системе отсчета кольцо примет форму эллипса, сжатого вдоль оси $Ox$. Его большая полуось (вдоль оси $Oy$) будет равна $R$, а малая полуось (вдоль оси $Ox$) будет меньше $R$.

Рассмотрим предложенные рисунки:

• Рисунок 1: окружность, сокращения нет. Неверно.
• Рисунок 2: эллипс, сжатый вдоль оси $Ox$. Вертикальная полуось обозначена как $R$ и является большей полуосью. Это соответствует нашим выводам.
• Рисунки 3 и 4: показывают изменение толщины или структуры кольца, что не описывает лоренцево сокращение формы. Неверно.
• Рисунок 5: эллипс, сжатый вдоль оси $Oy$. Это противоречит условию, так как движение происходит вдоль оси $Ox$. Неверно.
• Рисунок 6: эллипс, сжатый вдоль оси $Ox$, вертикальная полуось равна $R$. Физически это изображение также корректно, как и рисунок 2, но представляет собой случай большей скорости. В задачах такого типа обычно предполагается один правильный ответ.
• Рисунок 7: эллипс, растянутый вдоль оси $Ox$. Это противоречит теории относительности. Неверно.

Наиболее точно и стандартно правильную форму кольца в неподвижной системе отсчета изображает рисунок 2.

Ответ: 2.