Номер 673, страница 196 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

673. *Телеобъектив используется в тех случаях, когда требуется объектив с большим фокусным расстоянием, но с малыми габаритами. В фотоаппарате с простейшим телеобъективом световые лучи от удаленного объекта сначала проходят через собирающую линзу $Л_1$ (рис. 183) с фокусным расстоянием $F_1 = 10 \text{ см}$, затем — через рассеивающую линзу $Л_2$ с фокусным расстоянием $F_2 = -5,0 \text{ см}$, после этого лучи попадают на фотоматрицу. Расстояние между линзами $L = 7,0 \text{ см}$.

А) На каком расстоянии от рассеивающей линзы получается изображение удаленного объекта?

Б) Какое должно быть фокусное расстояние тонкой собирающей линзы, чтобы она создавала изображение удаленного объекта такого же размера, как и созданное телеобъективом?

Телеобъектив

$Л_1$ $Л_2$ Фотоматрица

$L$

Рис. 182

Дано:

Фокусное расстояние собирающей линзы, $F_1 = 10$ см

Фокусное расстояние рассеивающей линзы, $F_2 = -5,0$ см

Расстояние между линзами, $L = 7,0$ см

Объект находится на очень большом (бесконечном) расстоянии, $d_1 \to \infty$

Перевод в СИ:

$F_1 = 0,10$ м

$F_2 = -0,05$ м

$L = 0,07$ м

Найти:

А) $f_2$ — расстояние от рассеивающей линзы до конечного изображения

Б) $F_{экв}$ — фокусное расстояние эквивалентной линзы

Решение:

А)

Лучи от удаленного объекта приходят на первую собирающую линзу $Л_1$ параллельным пучком. После преломления в этой линзе они собираются в ее заднем фокусе. Таким образом, первая линза создает действительное изображение $S_1$ на расстоянии $f_1$ от своего оптического центра, которое равно ее фокусному расстоянию:

$f_1 = F_1 = 10$ см.

Это изображение $S_1$ служит объектом для второй, рассеивающей линзы $Л_2$. Найдем расстояние $d_2$ от этого изображения до второй линзы. Поскольку расстояние между линзами $L=7,0$ см, а изображение $S_1$ находится на расстоянии $f_1=10$ см от первой линзы, оно располагается за второй линзой.

Расстояние $d_2$ вычисляется как:

$d_2 = L - f_1 = 7,0 \text{ см} - 10 \text{ см} = -3,0$ см.

Знак минус указывает на то, что объект для второй линзы является мнимым (лучи сходятся в точке за линзой).

Теперь, используя формулу тонкой линзы для второй линзы $Л_2$, найдем расстояние $f_2$ до конечного изображения:

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2}$

Выразим $\frac{1}{f_2}$ и подставим числовые значения:

$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{F_2} - \frac{1}{d_2} = \frac{1}{-5,0 \text{ см}} - \frac{1}{-3,0 \text{ см}} = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{-3+5}{15} = \frac{2}{15} \text{ см}^{-1}$

Отсюда находим расстояние $f_2$ от рассеивающей линзы до конечного изображения:

$f_2 = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

Так как $f_2 > 0$, конечное изображение является действительным, что и требуется для его проекции на фотоматрицу.

Ответ: 7,5 см.

Б)

Для того чтобы одна тонкая собирающая линза создавала изображение удаленного объекта такого же размера, как и данный телеобъектив, ее фокусное расстояние должно быть равно эквивалентному фокусному расстоянию $F_{экв}$ системы из двух линз.

Эквивалентную оптическую силу $D_{экв}$ системы из двух тонких линз можно рассчитать по формуле:

$D_{экв} = D_1 + D_2 - L \cdot D_1 \cdot D_2$

где $D_1 = 1/F_1$ и $D_2 = 1/F_2$ — оптические силы линз, а $L$ — расстояние между ними. Для расчета все величины должны быть в системе СИ (фокусные расстояния и расстояние между линзами в метрах, оптическая сила в диоптриях).

Вычислим оптические силы линз:

$D_1 = \frac{1}{F_1} = \frac{1}{0,10 \text{ м}} = 10$ дптр.

$D_2 = \frac{1}{F_2} = \frac{1}{-0,05 \text{ м}} = -20$ дптр.

Подставим значения в формулу для эквивалентной оптической силы:

$D_{экв} = 10 + (-20) - 0,07 \cdot 10 \cdot (-20) = -10 - (-14) = -10 + 14 = 4$ дптр.

Эквивалентное фокусное расстояние системы равно величине, обратной ее оптической силе:

$F_{экв} = \frac{1}{D_{экв}} = \frac{1}{4 \text{ дптр}} = 0,25$ м.

Переведем результат в сантиметры:

$F_{экв} = 0,25 \text{ м} = 25$ см.

Ответ: 25 см.