Номер 668, страница 195 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

668. Наиболее правильное пространственное восприятие фотографии получается, если при ее рассматривании угловые размеры объектов, изображенных на фотографии, будут для наблюдателя такими же, какими они были для фотоаппарата при съемке. В этом случае не требуется никаких приспособлений, чтобы увидеть объемное изображение. (При рассматривании фотографии рекомендуется прикрыть один глаз.) С какого расстояния надо смотреть на экран монитора высотой $H = 28 \text{ см}$, чтобы получить наиболее правильное пространственное восприятие снимка, сделанного с помощью цифровой фотокамеры, в которой высота матрицы $h = 4,8 \text{ мм}$, фокусное расстояние объектива $F = 7,9 \text{ мм}$?

Дано:

Высота экрана монитора $H = 28$ см
Высота матрицы фотокамеры $h = 4,8$ мм
Фокусное расстояние объектива $F = 7,9$ мм

$H = 0,28$ м
$h = 4,8 \cdot 10^{-3}$ м
$F = 7,9 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Расстояние до монитора $L$ - ?

Решение:

Согласно условию задачи, для наиболее правильного пространственного восприятия фотографии угловой размер изображения на экране монитора для наблюдателя должен быть таким же, как угловой размер изображения на матрице для объектива фотоаппарата.

Угловой размер изображения на матрице фотоаппарата определяется отношением высоты изображения на матрице $h$ к фокусному расстоянию объектива $F$. Для малых углов, тангенс угла можно считать равным самому углу (в радианах). Угол, под которым видна половина изображения на матрице из оптического центра объектива, равен $\alpha/2$. Тогда $\tan(\alpha/2) = \frac{h/2}{F}$.

Аналогично, угловой размер изображения на экране монитора для наблюдателя определяется отношением высоты изображения на мониторе $H$ к расстоянию от наблюдателя до монитора $L$. Угол, под которым видна половина изображения на мониторе с расстояния $L$, равен $\beta/2$. Тогда $\tan(\beta/2) = \frac{H/2}{L}$.

По условию, угловые размеры должны быть равны, то есть $\alpha = \beta$. Следовательно, и тангенсы их половинных углов равны:

$\tan(\alpha/2) = \tan(\beta/2)$

$\frac{h/2}{F} = \frac{H/2}{L}$

Сократив $1/2$ в обеих частях, получим соотношение:

$\frac{h}{F} = \frac{H}{L}$

Это соотношение можно также получить из подобия двух треугольников: одного с катетами $h/2$ и $F$ (в фотоаппарате) и другого с катетами $H/2$ и $L$ (для наблюдателя).

Выразим искомое расстояние $L$ из этого соотношения:

$L = H \cdot \frac{F}{h}$

Подставим числовые значения в полученную формулу. Для удобства расчетов можно оставить все величины в миллиметрах, за исключением $H$, которое нужно перевести в миллиметры ($H = 28$ см = $280$ мм), тогда и результат получится в миллиметрах.

$L = 280 \text{ мм} \cdot \frac{7,9 \text{ мм}}{4,8 \text{ мм}} = \frac{2212}{4,8} \text{ мм} \approx 460,83 \text{ мм}$

Переведем результат в сантиметры для более удобного восприятия:

$L \approx 46,1 \text{ см}$

Ответ: на экран монитора надо смотреть с расстояния примерно 46,1 см.