Номер 670, страница 195 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

670. При фотографировании предмета с расстояния $d_1 = 1,0 \text{ м}$ высота изображения $H_1 = 6,0 \text{ см}$, а при фотографировании с расстояния $d_2 = 5,0 \text{ м}$ — высота $H_2 = 1,0 \text{ см}$. Определите фокусное расстояние объектива фотоаппарата.

Дано:

$d_1 = 1,0 \text{ м}$
$H_1 = 6,0 \text{ см}$
$d_2 = 5,0 \text{ м}$
$H_2 = 1,0 \text{ см}$

$H_1 = 0,06 \text{ м}$
$H_2 = 0,01 \text{ м}$

Найти:

$F$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой линейного увеличения. Объектив фотоаппарата представляет собой собирающую линзу.

Формула тонкой линзы имеет вид: $\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$, где $F$ — фокусное расстояние линзы, $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения.

Формула линейного увеличения: $\Gamma = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$, где $H$ — высота изображения, а $h$ — высота предмета.

Из формулы тонкой линзы выразим расстояние от линзы до изображения $f$:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{Fd}$

$f = \frac{Fd}{d-F}$

Подставим это выражение для $f$ в формулу увеличения:

$\frac{H}{h} = \frac{f}{d} = \frac{1}{d} \cdot \frac{Fd}{d-F} = \frac{F}{d-F}$

Отсюда можно выразить высоту изображения $H$ через параметры линзы и расстояние до объекта:

$H = \frac{hF}{d-F}$

Запишем это уравнение для двух случаев, описанных в условии задачи. Высота предмета $h$ и фокусное расстояние $F$ объектива остаются неизменными.

Для первого случая: $H_1 = \frac{hF}{d_1 - F}$ (1)

Для второго случая: $H_2 = \frac{hF}{d_2 - F}$ (2)

Из уравнений (1) и (2) выразим произведение $hF$, которое является постоянной величиной:

$hF = H_1(d_1 - F)$

$hF = H_2(d_2 - F)$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:

$H_1(d_1 - F) = H_2(d_2 - F)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно фокусного расстояния $F$:

$H_1 d_1 - H_1 F = H_2 d_2 - H_2 F$

$H_2 F - H_1 F = H_2 d_2 - H_1 d_1$

$F(H_2 - H_1) = H_2 d_2 - H_1 d_1$

$F = \frac{H_2 d_2 - H_1 d_1}{H_2 - H_1}$

Теперь подставим числовые значения, предварительно переведенные в систему СИ:

$F = \frac{0,01 \text{ м} \cdot 5,0 \text{ м} - 0,06 \text{ м} \cdot 1,0 \text{ м}}{0,01 \text{ м} - 0,06 \text{ м}}$

$F = \frac{0,05 \text{ м}^2 - 0,06 \text{ м}^2}{-0,05 \text{ м}} = \frac{-0,01 \text{ м}^2}{-0,05 \text{ м}} = 0,2 \text{ м}$

Полученное значение можно также выразить в сантиметрах: $0,2 \text{ м} = 20 \text{ см}$.

Ответ: фокусное расстояние объектива фотоаппарата равно $0,2$ м.