Номер 688, страница 205 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

688. *Монитор в форме прямоугольника со сторонами $a = 30 \text{ см}$ и $b = 50 \text{ см}$ находится в космическом аппарате. Определите модуль скорости, с которой должен двигаться космический аппарат относительно Земли вдоль стороны $b$, чтобы в системе отсчета, связанной с Землей, прямоугольный монитор стал квадратным со сторонами, равными $a$.

Дано:

Сторона монитора в собственной системе отсчета, $a = 30$ см

Сторона монитора в собственной системе отсчета, $b = 50$ см

Конечная форма монитора - квадрат со стороной $a'$

$a' = a = 30$ см

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в СИ:

$a = 0.3$ м

$b = 0.5$ м

$a' = 0.3$ м

Найти:

Модуль скорости космического аппарата $v$.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, размеры тела, движущегося с релятивистской скоростью $v$ относительно наблюдателя, сокращаются в направлении движения. Это явление называется лоренцевым сокращением длины. Длина $L$ в системе отсчета наблюдателя связана с собственной длиной объекта $L_0$ (длиной в системе отсчета, где объект покоится) следующим соотношением:

$L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

где $v$ — скорость объекта, $c$ — скорость света в вакууме.

В условии задачи космический аппарат движется вдоль стороны $b$. Следовательно, для наблюдателя на Земле сокращаться будет только длина стороны $b$. Длина стороны $a$, которая перпендикулярна направлению движения, не изменится.

Собственной длиной стороны, параллельной движению, является $L_0 = b = 50$ см.

По условию, для наблюдателя на Земле монитор должен стать квадратным со стороной, равной $a$. Это означает, что сокращенная длина стороны $b$ (обозначим ее $L$) должна стать равной длине стороны $a$.

$L = a = 30$ см

Подставим известные значения в формулу лоренцева сокращения:

$a = b \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Теперь необходимо выразить из этого уравнения скорость $v$.

Разделим обе части уравнения на $b$:

$\frac{a}{b} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\frac{a}{b})^2 = 1 - \frac{v^2}{c^2}$

Выразим член $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - (\frac{a}{b})^2$

Извлечем квадратный корень и выразим $v$:

$v = c \sqrt{1 - (\frac{a}{b})^2}$

Подставим числовые значения $a = 30$ см и $b = 50$ см. Так как мы используем отношение, единицы измерения сокращаются, и переводить их в СИ не обязательно.

$\frac{a}{b} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} = 0.6$

Теперь подставим это отношение в формулу для скорости:

$v = c \sqrt{1 - (0.6)^2} = c \sqrt{1 - 0.36} = c \sqrt{0.64}$

$v = 0.8c$

Для получения числового значения скорости, подставим значение скорости света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с:

$v = 0.8 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 2.4 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: Модуль скорости, с которой должен двигаться космический аппарат, равен $0.8c$ или $2.4 \cdot 10^8$ м/с.