Номер 695, страница 206 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

695. *Собственное время жизни мюона $t_0 = 2,2$ мкс. Определите, какой путь пролетела эта частица в системе отсчета, связанной с Землей, если время жизни мюона, измеренное по земным часам, $t = 4,4$ мкс, а частица двигалась равномерно.

Дано:
Собственное время жизни мюона $t_0 = 2,2$ мкс
Время жизни мюона в системе отсчета, связанной с Землей $t = 4,4$ мкс
Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

$t_0 = 2,2 \cdot 10^{-6}$ с
$t = 4,4 \cdot 10^{-6}$ с

Найти:
$L$ - ?

Решение:
Путь $L$, который пролетела частица в системе отсчета, связанной с Землей, можно найти по формуле для равномерного движения:
$L = v \cdot t$
где $v$ – скорость мюона относительно Земли, а $t$ – время жизни мюона, измеренное по земным часам.
Время $t$ нам известно из условия задачи. Чтобы найти путь, необходимо сначала определить скорость мюона $v$.
Связь между собственным временем жизни частицы $t_0$ (время, измеренное в системе отсчета, в которой частица покоится) и временем $t$, измеренным в лабораторной системе отсчета (Земля), относительно которой частица движется, дается формулой релятивистского замедления времени:
$t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
Выразим из этого соотношения скорость $v$. Сначала выразим радикал:
$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{t_0}{t}$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$1 - \frac{v^2}{c^2} = (\frac{t_0}{t})^2$
Теперь выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:
$\frac{v^2}{c^2} = 1 - (\frac{t_0}{t})^2$
И, наконец, найдем скорость $v$:
$v = c \sqrt{1 - (\frac{t_0}{t})^2}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$v = c \sqrt{1 - (\frac{2,2 \cdot 10^{-6} \text{ с}}{4,4 \cdot 10^{-6} \text{ с}})^2} = c \sqrt{1 - (0,5)^2} = c \sqrt{1 - 0,25} = c \sqrt{0,75} = c \frac{\sqrt{3}}{2}$
Теперь, когда мы нашли выражение для скорости мюона, мы можем рассчитать путь, который он пролетел в системе отсчета Земли:
$L = v \cdot t = (c \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot t$
Подставим числовые значения для скорости света $c$ и времени $t$:
$L = (3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 4,4 \cdot 10^{-6} \text{ с} \approx (3 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \frac{1,732}{2}) \cdot 4,4 \cdot 10^{-6} \text{ с} \approx (2,598 \cdot 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}}) \cdot (4,4 \cdot 10^{-6} \text{ с}) \approx 1143$ м.

Ответ: путь, который пролетела частица в системе отсчета, связанной с Землей, составляет примерно $1143$ м.