Номер 698, страница 207 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

698. *С космического корабля, находящегося от Земли на расстоянии $l = 6,0 \cdot 10^6$ м, одновременно послали на Землю световой импульс и пучок частиц, модуль скорости которых относительно корабля $v_0 = 0,80c$. Определите, через какое время после прихода светового импульса пучок частиц достигнет Земли, если корабль движется к Земле со скоростью $v_1 = 0,40c$.

Дано:

$l = 6,0 \cdot 10^6$ м

$v_0 = 0,80c$

$v_1 = 0,40c$

$c \approx 3,0 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

$\Delta t$

Решение:

Для решения задачи выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей. В этой системе отсчета Земля покоится, а космический корабль движется в ее сторону со скоростью $v_1$. В начальный момент времени ($t=0$) расстояние от корабля до Земли составляет $l$. В этот момент с корабля одновременно в сторону Земли посылаются световой импульс и пучок частиц.

1. Определим время $t_{св}$, за которое световой импульс достигнет Земли. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и равна $c$. Световой импульс должен преодолеть расстояние $l$.

$t_{св} = \frac{l}{c}$

Подставим числовые значения:

$t_{св} = \frac{6,0 \cdot 10^6 \text{ м}}{3,0 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ с}$

2. Определим время $t_{ч}$, за которое пучок частиц достигнет Земли. Для этого сначала необходимо найти скорость пучка частиц $v_{ч}$ относительно Земли. Скорость частиц относительно корабля равна $v_0$, а скорость самого корабля относительно Земли равна $v_1$. Так как корабль и частицы движутся в одном направлении (к Земле), их скорости складываются согласно релятивистскому закону сложения скоростей:

$v_ч = \frac{v_0 + v_1}{1 + \frac{v_0 v_1}{c^2}}$

Подставим значения скоростей, выраженные в долях скорости света $c$:

$v_ч = \frac{0,80c + 0,40c}{1 + \frac{(0,80c)(0,40c)}{c^2}} = \frac{1,20c}{1 + 0,32} = \frac{1,20c}{1,32} = \frac{10}{11}c$

Теперь можно найти время полета частиц до Земли. Пучок частиц должен преодолеть то же начальное расстояние $l$:

$t_ч = \frac{l}{v_ч} = \frac{l}{\frac{10}{11}c} = \frac{11l}{10c}$

Подставим числовые значения:

$t_ч = \frac{11 \cdot 6,0 \cdot 10^6 \text{ м}}{10 \cdot 3,0 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = \frac{66 \cdot 10^6}{30 \cdot 10^8} \text{ с} = 2,2 \cdot 10^{-2} \text{ с}$

3. Найдем искомую разность времен $\Delta t$ — промежуток времени между приходом светового импульса и пучка частиц.

$\Delta t = t_ч - t_{св}$

$\Delta t = 2,2 \cdot 10^{-2} \text{ с} - 2,0 \cdot 10^{-2} \text{ с} = 0,2 \cdot 10^{-2} \text{ с} = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Ответ: $2,0 \cdot 10^{-3}$ с.