Номер 748, страница 219 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

748. *Энергия фотона равна кинетической энергии электрона, модуль скорости которого $v = 0,8c$. Определите модуль импульса фотона.

Дано:

$E_ф = E_{к,э}$

$v = 0,8c$

Константы:

$m_0 \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг (масса покоя электрона)

$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Найти:

$p_ф$ — ?

Решение:

По условию задачи, энергия фотона $E_ф$ равна кинетической энергии электрона $E_{к,э}$. Поскольку скорость электрона сопоставима со скоростью света, необходимо использовать формулу для релятивистской кинетической энергии.

Релятивистская кинетическая энергия $E_{к,э}$ — это разность между полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$:

$E_{к,э} = E - E_0 = m_0c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1 \right)$

где $m_0$ — масса покоя электрона, $v$ — его скорость, $c$ — скорость света.

Подставим в формулу значение скорости электрона $v = 0,8c$:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(0,8c)^2}{c^2} = \frac{0,64c^2}{c^2} = 0,64$

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$

Теперь рассчитаем кинетическую энергию электрона:

$E_{к,э} = m_0c^2 \left( \frac{1}{0,6} - 1 \right) = m_0c^2 \left( \frac{10}{6} - 1 \right) = m_0c^2 \left( \frac{5}{3} - \frac{3}{3} \right) = \frac{2}{3} m_0c^2$

Энергия фотона $E_ф$ связана с его импульсом $p_ф$ соотношением:

$E_ф = p_ф c$

Отсюда можно выразить импульс фотона:

$p_ф = \frac{E_ф}{c}$

Так как по условию $E_ф = E_{к,э}$, подставим найденное выражение для кинетической энергии:

$p_ф = \frac{E_{к,э}}{c} = \frac{\frac{2}{3} m_0c^2}{c} = \frac{2}{3} m_0c$

Выполним численный расчет, подставив значения констант:

$p_ф = \frac{2}{3} \cdot (9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) = 2 \cdot (9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot 10^8 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

$p_ф = 18,22 \cdot 10^{-23} \text{ кг} \cdot \text{м/с} \approx 1,82 \cdot 10^{-22} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Ответ: модуль импульса фотона равен $1,82 \cdot 10^{-22}$ кг·м/с.