Номер 741, страница 216 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

741.*Прорывной бросок к звезде (Breakthrough Starshot) — это название научно-исследовательского проекта по запуску межзвездного космического зонда к ближайшей к нам звезде Проксима Центавра. Согласно проекту, зонд массой $m = 1 \text{ г}$ будет выведен обычной ракетой на высокую околоземную орбиту, затем после раскрытия солнечного паруса площадью $S = 16 \text{ м}^2$ на него будет направлено с Земли лазерное излучение мощностью $P = 50 \text{ ГВт}$, которое за счет светового давления за время $t = 10 \text{ мин}$ разгонит зонд до скорости $v = 0,2c$. Какую кинетическую энергию приобретет зонд? Чему равен КПД данного ускорителя?

Дано:

$m = 1 \text{ г}$
$S = 16 \text{ м}^2$
$P = 50 \text{ ГВт}$
$t = 10 \text{ мин}$
$v = 0,2c$
$c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$P = 50 \cdot 10^9 \text{ Вт} = 5 \cdot 10^{10} \text{ Вт}$
$t = 10 \cdot 60 \text{ с} = 600 \text{ с}$
$v = 0,2 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} = 6 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Найти:

$E_k - ?$
$\eta - ?$

Решение:

Какую кинетическую энергию приобретет зонд?

Скорость зонда $v=0,2c$ является существенной долей от скорости света, поэтому для расчета кинетической энергии необходимо использовать релятивистскую формулу:

$E_k = (\gamma - 1) m c^2$

где $m$ — масса покоя зонда, $c$ — скорость света, а $\gamma$ — фактор Лоренца, который рассчитывается как:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Подставим значение скорости $v = 0,2c$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,2c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,2^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,04}} = \frac{1}{\sqrt{0,96}} \approx 1,0206$

Теперь можем рассчитать кинетическую энергию:

$E_k = (1,0206 - 1) \cdot (1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2$

$E_k = 0,0206 \cdot 10^{-3} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 0,1854 \cdot 10^{14} \text{ Дж} \approx 1,85 \cdot 10^{12} \text{ Дж}$

Кинетическую энергию можно также выразить в тераджоулях (ТДж): $1 \text{ ТДж} = 10^{12} \text{ Дж}$.

$E_k \approx 1,85 \text{ ТДж}$

Ответ: зонд приобретет кинетическую энергию примерно $1,85 \cdot 10^{12} \text{ Дж}$.

Чему равен КПД данного ускорителя?

Коэффициент полезного действия (КПД) ускорителя определяется как отношение полезной работы (приобретенной зондом кинетической энергии $E_k$) к полной затраченной энергии (энергии лазерного излучения $W_{лазера}$).

$\eta = \frac{E_k}{W_{лазера}} \cdot 100\%$

Энергия, излучённая лазером за время $t$, равна:

$W_{лазера} = P \cdot t$

Подставим числовые значения:

$W_{лазера} = (5 \cdot 10^{10} \text{ Вт}) \cdot (600 \text{ с}) = 3000 \cdot 10^{10} \text{ Дж} = 3 \cdot 10^{13} \text{ Дж}$

Теперь рассчитаем КПД:

$\eta = \frac{1,85 \cdot 10^{12} \text{ Дж}}{3 \cdot 10^{13} \text{ Дж}} \cdot 100\% = \frac{1,85}{30} \cdot 100\% \approx 0,0617 \cdot 100\% \approx 6,17\%$

Площадь солнечного паруса $S$ в данном расчете не используется, так как конечная скорость зонда задана, и мы можем напрямую вычислить его кинетическую энергию.

Ответ: КПД данного ускорителя равен примерно $6,2\%$.